### Volume of pyramid and frustum

Question Sample Titled 'Volume of pyramid and frustum'

Figure (a) shows a right pyramid with a square base of side ${6}$ $\text{cm}$ . The lateral faces are all equilateral triangles.

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$Figure (a)${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${P}$${Q}$${R}$${S}$Figure (b)${4}$ $\text{cm}$

 (a) Find the height of the pyramid ${A}{B}{C}{D}{E}$ . (3 marks) (b) Find the volume of the pyramid ${A}{B}{C}{D}{E}$ . (1 mark) (c) In Figure (b) , the pyramid is cut into two parts by a plane ${P}{Q}{R}{S}$ which is parallel to its base. Find the volume of the frustum ${B}{C}{D}{E}{S}{P}{Q}{R}$ . (3 marks)

 (a) 

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${X}$${Y}$

 In $\triangle{A}{Y}{D}$ , ${A}{Y}$ $=\sqrt{{{A}{D}^{{2}}-{D}{Y}^{{2}}}}$ Pyth. theorem 1M ${A}{Y}$ $={3}\sqrt{{{3}}}$ $\text{cm}$  In $\triangle{A}{X}{Y}$ , ${A}{X}$ $=\sqrt{{{A}{Y}^{{2}}-{X}{Y}^{{2}}}}$ Pyth. theorem 1M  $={3}\sqrt{{{2}}}$ $\text{cm}$ $\therefore$Required height $={3}\sqrt{{{2}}}$ $\text{cm}$ . 1A  (b) Required volume  $=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({6}\right)}^{{2}}{\left({3}\sqrt{{{2}}}\right)}$  $={36}\sqrt{{2}}$ $\text{cm}^{{3}}$ 1A  (c) Volume of ${A}{P}{Q}{R}{S}:$Volume of ${A}{B}{C}{D}{E}$  $={\left(\dfrac{{{A}{R}}}{{{A}{D}}}\right)}^{{3}}$  $={\left(\dfrac{{{6}-{4}}}{{{6}}}\right)}^{{3}}$ 1M  $=\dfrac{{1}}{{27}}$  $\therefore$Volume of ${B}{C}{D}{E}{S}{P}{Q}{R}$  $=$Volume of ${A}{B}{C}{D}{E}-$Volume of ${A}{P}{Q}{R}{S}$  $=\dfrac{{{27}-{1}}}{{27}}\times{36}\sqrt{{2}}$ 1M  $=\dfrac{{104}}{{3}}\sqrt{{2}}$ $\text{cm}^{{3}}$ 1A

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