Variation; area to x-axis

Question Sample Titled 'Variation; area to x-axis'

題目

A function f(x){f{{\left({x}\right)}}} is the sum of two parts one part varies as x2{x}^{{2}} and the other part varies as x{x} . It is given that f(7)=392{f{{\left({7}\right)}}}={392} and f(5)=140{f{{\left(-{5}\right)}}}={140} .

(a)Find the function f(x){f{{\left({x}\right)}}} .(3 marks)
(b)A(3.5,m){A}{\left(-{3.5},{m}\right)} and B(2.5,n){B}{\left({2.5},{n}\right)} are two points on the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} and C{C} is a point on the x{x}-axis. Find the area of ABC\triangle{A}{B}{C} .(3 marks)

題解

(a)Let f(x)=kx2+cx{f{{\left({x}\right)}}}={k}{x}^{{2}}+{c}{x} , where k{k} , c0{c}\ne{0}
f(7){f{{\left({7}\right)}}}=k(7)2+c(7)={k}{\left({7}\right)}^{{2}}+{c}{\left({7}\right)}1M
392{392}=49k+7c={49}{k}+{7}{c}(1)\ldots{\left({1}\right)}
f(5){f{{\left(-{5}\right)}}}=k(5)2+c(5)={k}{\left(-{5}\right)}^{{2}}+{c}{\left(-{5}\right)}
140{140}=25k5c={25}{k}-{5}{c}(2)\ldots{\left({2}\right)}
Solving, we have1M
k{k}=7={7}
c{c}=7={7}
∴  f(x){f{{\left({x}\right)}}}=7x2+7x={7}{x}^{{2}}+{7}{x}1A
(b)∵  f(x){f{{\left({x}\right)}}}=7x2+7x={7}{x}^{{2}}+{7}{x}1A
f(3.5){f{{\left(-{3.5}\right)}}}=61.25={61.25}
f(2.5){f{{\left({2.5}\right)}}}=61.25={61.25}
∵   The y-coordinates of A{A} and B{B} are both 61.25{61.25} .
AB{A}{B} is a horizontal line .
Require area=12×(61.25)(2.5(3.5))=\dfrac{{1}}{{2}}\times{\left({61.25}\right)}{\left({2.5}-{\left(-{3.5}\right)}\right)}1M
=7354=\dfrac{{735}}{{4}} sq. unit\text{sq. unit}1A



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