### Variation; area to x-axis

Question Sample Titled 'Variation; area to x-axis'

A function ${f{{\left({x}\right)}}}$ is the sum of two parts one part varies as ${x}^{{2}}$ and the other part varies as ${x}$ . It is given that ${f{{\left({7}\right)}}}={392}$ and ${f{{\left(-{5}\right)}}}={140}$ .

 (a) Find the function ${f{{\left({x}\right)}}}$ . (3 marks) (b) ${A}{\left(-{3.5},{m}\right)}$ and ${B}{\left({2.5},{n}\right)}$ are two points on the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ and ${C}$ is a point on the ${x}$-axis. Find the area of $\triangle{A}{B}{C}$ . (3 marks)

 (a) Let ${f{{\left({x}\right)}}}={k}{x}^{{2}}+{c}{x}$ , where ${k}$ , ${c}\ne{0}$ ${f{{\left({7}\right)}}}$ $={k}{\left({7}\right)}^{{2}}+{c}{\left({7}\right)}$ 1M ${392}$ $={49}{k}+{7}{c}$ $\ldots{\left({1}\right)}$ ${f{{\left(-{5}\right)}}}$ $={k}{\left(-{5}\right)}^{{2}}+{c}{\left(-{5}\right)}$ ${140}$ $={25}{k}-{5}{c}$ $\ldots{\left({2}\right)}$ Solving, we have 1M ${k}$ $={7}$ ${c}$ $={7}$ ∴  ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={7}{x}^{{2}}+{7}{x}$ 1A  (b) ∵  ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={7}{x}^{{2}}+{7}{x}$ 1A ${f{{\left(-{3.5}\right)}}}$ $={61.25}$ ${f{{\left({2.5}\right)}}}$ $={61.25}$ ∵   The y-coordinates of ${A}$ and ${B}$ are both ${61.25}$ . ${A}{B}$ is a horizontal line . Require area $=\dfrac{{1}}{{2}}\times{\left({61.25}\right)}{\left({2.5}-{\left(-{3.5}\right)}\right)}$ 1M  $=\dfrac{{735}}{{4}}$ $\text{sq. unit}$ 1A

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