Variation Point under a parabola, long division of polynomials

Question Sample Titled 'Variation Point under a parabola, long division of polynomials'

題目

(a)Find the value of s{s} such that x3{x}-{3} is a factor of sx368x2+111x18{s}{x}^{{3}}-{68}{x}^{{2}}+{111}{x}-{18} .(2 marks)
(b)The figure shows the graph of y=33x2204x+333{y}={33}{x}^{{2}}-{204}{x}+{333} . P{P} is a variable point on the graph in the first quadrant. C{C} and V{V} are the feet of the perpendiculars from P{P} to the x{x}-axis and the y{y}-axis respectively.(5 marks)

x{x}y{y}C{C}P{P}V{V}O{O}y=33x2204x+333{y}={33}{x}^{{2}}-{204}{x}+{333}

(i)Let (v,0){\left({v},{0}\right)} be the coordinates of C{C}. Express the area of the rectangle OCPV{O}{C}{P}{V} in terms of v{v}.
(ii)Are there three different positions of P{P} such that the area of the rectangle OCPV{O}{C}{P}{V} is 54{54} ? Explain your answer.

題解

(a)s(3)368(3)2+111(3)18{s}{\left({3}\right)}^{{3}}-{68}{\left({3}\right)}^{{2}}+{111}{\left({3}\right)}-{18}=0={0}1M
27s{27}{s}=297={297}
s{s}=11={11}1A
(bi)The area of the rectangle OCPV{O}{C}{P}{V}=v(33v2204v+333)={v}{\left({33}{v}^{{2}}-{204}{v}+{333}\right)}1A
=33v3204v2+333v={33}{v}^{{3}}-{204}{v}^{{2}}+{333}{v}
(bii)Note that the area of the rectangle OCPV{O}{C}{P}{V} is 54{54} . Thus, we have
33v3204v2+333v{33}{v}^{{3}}-{204}{v}^{{2}}+{333}{v}=54={54}1M
11v368v2+111v18{11}{v}^{{3}}-{68}{v}^{{2}}+{111}{v}-{18}=0={0}
(v3)(11v235v+6){\left({v}-{3}\right)}{\left({11}{v}^{{2}}-{35}{v}+{6}\right)}=0={0}1M
(v3)2(11v2){\left({v}-{3}\right)}^{{2}}{\left({11}{v}-{2}\right)}=0={0}1A
v{v}=3orv=211={3}{\quad\text{or}\quad}{v}=\dfrac{{2}}{{11}}
So, there are only two (no three) different positions of P{P} such that the area of the rectangle OCPV{O}{C}{P}{V} is 54{54} .1Af.t.



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