Variation Point under a parabola, long division of polynomials

Question Sample Titled 'Variation Point under a parabola, long division of polynomials'

題目

(a)	Find the value of ${s}$ such that ${x}-{3}$ is a factor of ${s}{x}^{{3}}-{68}{x}^{{2}}+{111}{x}-{18}$ .									(2 marks)
(b)	The figure shows the graph of ${y}={33}{x}^{{2}}-{204}{x}+{333}$ . ${P}$ is a variable point on the graph in the first quadrant. ${C}$ and ${V}$ are the feet of the perpendiculars from ${P}$ to the ${x}$ -axis and the ${y}$ -axis respectively.									(5 marks)

{x}

{y}

{C}

{P}

{V}

{O}

{y}={33}{x}^{{2}}-{204}{x}+{333}

	(i)	Let ${\left({v},{0}\right)}$ be the coordinates of ${C}$ . Express the area of the rectangle ${O}{C}{P}{V}$ in terms of ${v}$ .
	(ii)	Are there three different positions of ${P}$ such that the area of the rectangle ${O}{C}{P}{V}$ is ${54}$ ? Explain your answer.

題解

(a)	${s}{\left({3}\right)}^{{3}}-{68}{\left({3}\right)}^{{2}}+{111}{\left({3}\right)}-{18}$	$={0}$	1M
	${27}{s}$	$={297}$
	${s}$	$={11}$	1A
(bi)	The area of the rectangle ${O}{C}{P}{V}$	$={v}{\left({33}{v}^{{2}}-{204}{v}+{333}\right)}$	1A
		$={33}{v}^{{3}}-{204}{v}^{{2}}+{333}{v}$	1A
(bii)	Note that the area of the rectangle ${O}{C}{P}{V}$ is ${54}$ . Thus, we have
	${33}{v}^{{3}}-{204}{v}^{{2}}+{333}{v}$	$={54}$	1M
	${11}{v}^{{3}}-{68}{v}^{{2}}+{111}{v}-{18}$	$={0}$
	${\left({v}-{3}\right)}{\left({11}{v}^{{2}}-{35}{v}+{6}\right)}$	$={0}$	1M
	${\left({v}-{3}\right)}^{{2}}{\left({11}{v}-{2}\right)}$	$={0}$	1A
	${v}$	$={3}{\quad\text{or}\quad}{v}=\dfrac{{2}}{{11}}$
	So, there are only two (no three) different positions of ${P}$ such that the area of the rectangle ${O}{C}{P}{V}$ is ${54}$ .		1A	f.t.

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