The equation of locus: equidistant from two straight lines

Question Sample Titled 'The equation of locus: equidistant from two straight lines'

題目

In the figure, L1:x3y+3=0{L}_{{1}}:{x}-\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0} and L2:3xy+33=0{L}_{{2}}:\sqrt{{{3}}}{x}-{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0} are two straight lines intersecting at (3,0){\left(-{3},{0}\right)}. If a moving point P{P} is always equidistant from L1{L}_{{1}} and L2{L}_{{2}} , the the equations of the locus of P{P} are

x{x}y{y}O{O}3-{3}L1:x3y+3=0{L}_{{1}}:{x}-\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0}L2:3xy+33=0{L}_{{2}}:\sqrt{{{3}}}{x}-{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0}
A
xy+3=0{x}-{y}+{3}={0} and x+y+3=0{x}+{y}+{3}={0} .
B
3x3y+3=0\sqrt{{{3}}}{x}-\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0} and 3x+3y+3=0\sqrt{{{3}}}{x}+\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0} .
C
3xy+33=0\sqrt{{{3}}}{x}-{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0} and x+3y+33=0{x}+\sqrt{{{3}}}{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0} .
D
xy+3=0{x}-{y}+\sqrt{{{3}}}={0} and x+y+3=0{x}+{y}+\sqrt{{{3}}}={0} .
題解

Let α\alpha and β\beta be the angles of inclination of L1{L}_{{1}} and L2{L}_{{2}} respectively.
∵   Slope of L1=13{L}_{{1}}=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}} and slope of L2=3{L}_{{2}}=\sqrt{{{3}}}
∴  tanα=13andtanβ=3{\tan{\alpha}}=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}{\quad\text{and}\quad}{\tan{\beta}}=\sqrt{{{3}}}
α=30andβ=60\alpha={30}^{\circ}{\quad\text{and}\quad}\beta={60}^{\circ}
The locus of P{P} is the angle bisector of L1{L}_{{1}} and L2{L}_{{2}} , i.e. the straight line passing through (3,0){\left(-{3},{0}\right)} with an inclination tan45{{\tan{{45}}}^{\circ}} or tan135{{\tan{{135}}}^{\circ}} .
The equation of the locus of P{P} is::
y0x(3)\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{\left(-{3}\right)}}}=tan45={{\tan{{45}}}^{\circ}} and y0x(3)=tan135\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{\left(-{3}\right)}}}={{\tan{{135}}}^{\circ}}
xy+3{x}-{y}+{3}=0={0} and x+y+3=0{x}+{y}+{3}={0}



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