### The equation of locus: equidistant from two straight lines

Question Sample Titled 'The equation of locus: equidistant from two straight lines'

In the figure, ${L}_{{1}}:{x}-\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0}$ and ${L}_{{2}}:\sqrt{{{3}}}{x}-{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0}$ are two straight lines intersecting at ${\left(-{3},{0}\right)}$. If a moving point ${P}$ is always equidistant from ${L}_{{1}}$ and ${L}_{{2}}$ , the the equations of the locus of ${P}$ are

${x}$${y}$${O}$$-{3}$${L}_{{1}}:{x}-\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0}$${L}_{{2}}:\sqrt{{{3}}}{x}-{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0}$
A
${x}-{y}+{3}={0}$ and ${x}+{y}+{3}={0}$ .
B
$\sqrt{{{3}}}{x}-\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0}$ and $\sqrt{{{3}}}{x}+\sqrt{{{3}}}{y}+{3}={0}$ .
C
$\sqrt{{{3}}}{x}-{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0}$ and ${x}+\sqrt{{{3}}}{y}+{3}\sqrt{{{3}}}={0}$ .
D
${x}-{y}+\sqrt{{{3}}}={0}$ and ${x}+{y}+\sqrt{{{3}}}={0}$ .

 Let $\alpha$ and $\beta$ be the angles of inclination of ${L}_{{1}}$ and ${L}_{{2}}$ respectively. ∵   Slope of ${L}_{{1}}=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}$ and slope of ${L}_{{2}}=\sqrt{{{3}}}$ ∴  ${\tan{\alpha}}=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}{\quad\text{and}\quad}{\tan{\beta}}=\sqrt{{{3}}}$ $\alpha={30}^{\circ}{\quad\text{and}\quad}\beta={60}^{\circ}$ The locus of ${P}$ is the angle bisector of ${L}_{{1}}$ and ${L}_{{2}}$ , i.e. the straight line passing through ${\left(-{3},{0}\right)}$ with an inclination ${{\tan{{45}}}^{\circ}}$ or ${{\tan{{135}}}^{\circ}}$ . The equation of the locus of ${P}$ is$:$ $\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{\left(-{3}\right)}}}$ $={{\tan{{45}}}^{\circ}}$ and $\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{\left(-{3}\right)}}}={{\tan{{135}}}^{\circ}}$ ${x}-{y}+{3}$ $={0}$ and ${x}+{y}+{3}={0}$

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