Summation of geometric sequence, logarithm, quadratic inequality

Question Sample Titled 'Summation of geometric sequence, logarithm, quadratic inequality'

題目

Briana is studying about the number of mobile phones in a city. It is given that the total number of mobile phones at the end of the first year is 90000{90000} , and in subsequent years, the total number of mobile phones imported each year is r%{r}\% of the total number of mobile phones at the end of the previous year, where r{r} is a constant, and the total number mobile phones abandoned each year is 3000{3000} . It is found that the total number of mobile phones at the end of the third year is 1.026×105{1.026}\times{10}^{{5}}.

(a)(i)Express, in terms of r{r}, the total number of mobile phones at the end of the second year.
(ii)Find r{r} .
(4 marks)
(b)(i)Express, in terms of n{n}, the total number of mobile phones at the end of the nth{n}^{{{t}{h}}} year.
(ii)At the end of which year will the total number of mobile phones first exceed 4.3×105{4.3}\times{10}^{{5}} ?
(5 marks)
(c)It is assumed that the total number of mobile phones needed at the end of the nth{n}^{{{t}{h}}} year is (a(1.21)n+b){\left({a}{\left({1.21}\right)}^{{n}}+{b}\right)} , where a{a} and b{b} are constants. Some research results reveal that the total number of mobile phones needed at the end of the first year and the end of the second year are 1.384×105{1.384}\times{10}^{{5}} and 1.48564×105{1.48564}\times{10}^{{5}} respectively. Briana claims that based on the assumption, the total number of mobile phones will be greater than the total number of mobile phones needed at the end of a certain year. Is the claim correct? Explain your answer.(4 marks)

題解

(ai)Required number of mobile phones
=90000(1+r%)−3000={90000}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3000}1A
=900r+87000={900}{r}+{87000}
(aii)(90000(1+r%)−3000)(1+r%)−3000{\left({90000}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3000}\right)}{\left({1}+{r}\%\right)}-{3000}=1.026×105={1.026}\times{10}^{{5}}1M
150(1+r%)2−5(1+r%)−176{150}{\left({1}+{r}\%\right)}^{{2}}-{5}{\left({1}+{r}\%\right)}-{176}=0={0}1M
(1+r%)=1.1{\left({1}+{r}\%\right)}={1.1} or (1+r%)=−1615{\left({1}+{r}\%\right)}=-\dfrac{{16}}{{15}} (rejected)
Thus, we have r=10{r}={10} .1A
(bi)Required number of mobile phones
=90000(1.1)n−1−3000(1.1)n−2−3000(1.1)n−3−…−3000={90000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{3000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{2}}}-{3000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{3}}}-\ldots-{3000}1M
=90000(1.1)n−1−3000(1.1n−1−11.1−1)={90000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{3000}{\left(\dfrac{{{1.1}^{{{n}-{1}}}-{1}}}{{{1.1}-{1}}}\right)}1Mfor sum of G.S.
=90000(1.1)n−1−30000(1.1n−1−1)={90000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}-{30000}{\left({1.1}^{{{n}-{1}}}-{1}\right)}
=(60000(1.1)n−1+30000)={\left({60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{30000}\right)}1A
(bii)Put 60000(1.1)n−1+30000>4.3×105{60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{30000}>{4.3}\times{10}^{{5}}
1.1n−1>203{1.1}^{{{n}-{1}}}>\dfrac{{20}}{{3}}
log(1.1)n−1>log(203){{\log{{\left({1.1}\right)}}}^{{{n}-{1}}}>}{\log{{\left(\dfrac{{20}}{{3}}\right)}}}1M
(n−1)log(1.1)>log(203){\left({n}-{1}\right)}{\log{{\left({1.1}\right)}}}>{\log{{\left(\dfrac{{20}}{{3}}\right)}}}
n−1>log(203)log(1.1){n}-{1}>\dfrac{{{\log{{\left(\dfrac{{20}}{{3}}\right)}}}}}{{{\log{{\left({1.1}\right)}}}}}
n>20.904694218190894{n}>{20.904694218190894}
Thus, the total number of mobile phones will first exceed 4.3×105{4.3}\times{10}^{{5}} at the end of the 21st{21}^{{{s}{t}}} year.1A
(c)Note that a(1.21)1+b=1.384×105{a}{\left({1.21}\right)}^{{1}}+{b}={1.384}\times{10}^{{5}} and a(1.21)2+b=1.48564×105{a}{\left({1.21}\right)}^{{2}}+{b}={1.48564}\times{10}^{{5}} .
Solving, we have a=40000{a}={40000} and b=90000{b}={90000} .1M
Consider 60000(1.1)n−1+30000>(40000(1.21)n+90000){60000}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{30000}>{\left({40000}{\left({1.21}\right)}^{{n}}+{90000}\right)}…(∗)\ldots{\left(\ast\right)}
22((1.1)n−1)2−30(1.1)n−1+33<0{22}{\left({\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}\right)}^{{2}}-{30}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{33}<{0}1M
Δ=(−30)2−4(22)(33)\Delta={\left(-{30}\right)}^{{2}}-{4}{\left({22}\right)}{\left({33}\right)}
=−2004=-{2004}
<0<{0}
Since 22>0{22}>{0} , for all n{n} , we have 22((1.1)n−1)2−30(1.1)n−1+33>0{22}{\left({\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}\right)}^{{2}}-{30}{\left({1.1}\right)}^{{{n}-{1}}}+{33}>{0} .
So, (∗){\left(\ast\right)} does not have real solution.1M
Thus, the claim is incorrect.1A


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