sum geometric

Question Sample Titled 'sum geometric'

題目

The angle of sector and the radius of the paper sector S1{S}_{{1}} are 80{80}^{\circ} and r{r} cm\text{cm} respectively.

(a)Find the area of S1{S}_{{1}} in terms of π\pi and r{r} .(1 mark)
(b)Paper sector S2{S}_{{2}} is similar to S1{S}_{{1}}. It is given that the radius of S2{S}_{{2}} is half of that of S1{S}_{{1}}. Find the area of S2{S}_{{2}} in terms of π\pi and r{r} .(1 mark)

S1{S}_{{1}}S2{S}_{{2}}S2{S}_{{2}}S3{S}_{{3}}S3{S}_{{3}}S3{S}_{{3}}S3{S}_{{3}}\ldots

(c)Now on the table, stick two sectors S2{S}_{{2}} on top of S1{S}_{{1}}. For each sector S2{S}_{{2}}, two more similar sectors S3{S}_{{3}}, in which the radius is half of that of S2{S}_{{2}}, are created and are sticked on top of the sector S2{S}_{{2}}, as shown in the figure. If the same process is repeated on each newly created sectors, Melissa thinks that the total area of all sectors except S1{S}_{{1}} would be greater than the area of S1{S}_{{1}}. Do you agree? Explain your answer.(4 marks)
The area at the back (i.e. facing the table) are not counted.

題解

(a)Required area=πr2×80360=\pi{r}^{{2}}\times\dfrac{{{80}^{\circ}}}{{{360}^{\circ}}}
=29πr2=\dfrac{{2}}{{9}}\pi{r}^{{2}} cm2\text{cm}^{{2}}1A
(b)Required area=π(r2)2×80360=\pi{\left(\dfrac{{r}}{{2}}\right)}^{{2}}\times\dfrac{{{80}^{\circ}}}{{{360}^{\circ}}}
=118πr2=\dfrac{{1}}{{18}}\pi{r}^{{2}} cm2\text{cm}^{{2}}1A
(c)Total area of all sectors which are smaller than S1{S}_{{1}}
=29πr2(2(12)2+4(12)4+8(12)6+)=\dfrac{{2}}{{9}}\pi{r}^{{2}}{\left({2}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{4}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{4}}+{8}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{6}}+\ldots\right)}1M
=29πr2((12)1+(12)2+(12)3+)=\dfrac{{2}}{{9}}\pi{r}^{{2}}{\left({\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{1}}+{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\right)}^{{3}}+\ldots\right)}
=29πr2×12112=\dfrac{{2}}{{9}}\pi{r}^{{2}}\times\dfrac{{\dfrac{{1}}{{2}}}}{{{1}-\dfrac{{1}}{{2}}}}1A
=29πr2=\dfrac{{2}}{{9}}\pi{r}^{{2}} cm2\text{cm}^{{2}}1A
==Area of S1{S}_{{1}}
(Not greater than area of S1{S}_{{1}})
Thus, she is disagreed.1A



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