Straight lines, locus and circle

Question Sample Titled 'Straight lines, locus and circle'

題目

The y{y}-intercept of two parallel lines L{L} and l{l} are 1-{1} and 3-{3} respectively and the x{x}-intercept of L{L} is 3{3} . S{S} is a moving point in the rectangular coordinate plane such that the perpendicular distance from S{S} to L{L} is equal to the perpendicular distance from S{S} to l{l} . Denote the locus of S{S} by Γ\Gamma .

(a)(i)Describe the geometric relationship between Γ\Gamma and L{L} .(5 marks)
(ii)Find the equation of Γ\Gamma .
(b)The equation of circle C{C} is (x6)2+y2=4{\left({x}-{6}\right)}^{{2}}+{y}^{{2}}={4} . Denote the centre of C{C} by G{G} .(4 marks)
(i)Does Γ\Gamma pass through G{G} ? Explain your answer.
(ii)If L{L} cuts C{C} at A{A} and B{B} while Γ\Gamma cuts C{C} at H{H} and K{K} , find the ratio of the area of AGH\triangle{A}{G}{H} to the area of BGK\triangle{B}{G}{K} .

題解

(ai)Γ\Gamma is parallel to L{L} .1A
(aii)Note that the y{y}-intercept of Γ\Gamma is 2-{2} .1A
The slope of L{L}=1003=\dfrac{{-{1}-{0}}}{{{0}-{3}}}1M
=13=\dfrac{{1}}{{3}}1A
The equation of Γ\Gamma is
y+2{y}+{2}=13(x0)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({x}-{0}\right)}
x3y6{x}-{3}{y}-{6}=0={0}1A
(bi)Note that the coordinates of G{G} are (6,0){\left({6},{0}\right)} .1A
Since (6)3(0)6{\left({6}\right)}-{3}{\left({0}\right)}-{6}=0={0} , Γ\Gamma passes through G{G} .1A
(bii)Note that both GH{G}{H} and GK{G}{K} are radii of the circle.1M
Also note that both the heights of AGH\triangle{A}{G}{H} and BGK\triangle{B}{G}{K}
are the distance between L{L} and Γ\Gamma .
∴  The area of AGH\triangle{A}{G}{H} is equal to the area of BGK\triangle{B}{G}{K} .
Thus, the required ratio is 1:1{1}:{1} .1A



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