### Solve for unknowns given two perpendicular lines and equal x-intercepts

Question Sample Titled 'Solve for unknowns given two perpendicular lines and equal x-intercepts'

If the straight lines ${L}_{{1}}:{h}{x}+{k}{y}+{12}={0}$ and ${L}_{{2}}:-{x}-{3}{y}+{4}={0}$ are perpendicular to each other and intersect at a point on the ${x}$-axis, then ${k}=$

A
${1}$ .
B
$-{3}$ .
C
$-{2}$ .
D
$-{5}$ .

 Notice that ${L}_{{1}}$ and ${L}_{{2}}$ share the same ${x}$-intercept. The ${x}$-intercept of ${L}_{{2}}$ $=\dfrac{{-{\left({4}\right)}}}{{-{{1}}}}$ ${x}$-intercept of ${A}{x}+{B}{y}+{C}={0}=\dfrac{{-{C}}}{{A}}$ $={4}$ Subsitute this ${x}$-intercept ${\left({4},{0}\right)}$ into ${L}_{{1}}$ , ${h}{\left({4}\right)}+{k}{\left({0}\right)}+{12}$ $={0}$ ${h}$ $=-{3}$ ∵  ${L}_{{1}}\bot{L}_{{2}}$ , ∴ (slope of ${L}_{{1}}$)$\times$(slope of ${L}_{{2}}$) $=-{1}$ slope of ${A}{x}+{B}{y}+{C}={0}=\dfrac{{-{A}}}{{B}}$ $\dfrac{{-{h}}}{{k}}\times\dfrac{{-{\left(-{1}\right)}}}{{-{{3}}}}$ $=-{1}$ $\dfrac{{-{\left(-{3}\right)}}}{{k}}\times{\left(-\dfrac{{1}}{{3}}\right)}$ $=-{1}$ ${k}$ $={1}$

 The given information can be interpreted as the following system of simultaneous equations. ${L}_{{1}}\bot{L}_{{2}}$ ${x}$-intercept of ${L}_{{1}}={x}$-intercept of ${L}_{{2}}$ $\dfrac{{-{h}}}{{k}}\times\dfrac{{-{\left(-{1}\right)}}}{{-{{3}}}}=-{1}$ $\dfrac{{-{12}}}{{h}}=\dfrac{{-{\left({4}\right)}}}{{-{{1}}}}$ Solving the equations will give the solution ${\left({h},{k}\right)}={\left(-{3},{1}\right)}$

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