slope, inclination, circle

Question Sample Titled 'slope, inclination, circle'

題目

${P}{\left(-{1},{3}\right)}$ and ${Q}{\left({7},{5}\right)}$ are two points on the circle ${C}$ with centre ${G}$ such that ${P}{Q}$ is a diameter.

(a)	Find the equation of ${C}$ .		(2 marks)
(b)	${L}$ is a straight line passing through ${Q}$ with slope ${m}$ where ${m}\ne\dfrac{{1}}{{4}}$ .
	(i)	Express the equation of ${L}$ in terms of ${m}$ .
	(ii)	Find the positive value of ${m}$ such that the area of $\triangle{P}{Q}{R}$ is maximum.
			(4 marks)

題解

(a)	Centre of ${C}$	$={\left(\dfrac{{-{1}+{7}}}{{2}},\dfrac{{{3}+{5}}}{{2}}\right)}$
		$={\left({3},{4}\right)}$	1A
	Radius of ${C}$	$=\sqrt{{{\left({3}+{1}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{3}\right)}^{{2}}}}$
		$=\sqrt{{{17}}}$
	Equation of ${C}:$
	${\left({x}-{3}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{4}\right)}^{{2}}$	$={17}$	1A

(bi)	Equation of ${L}:$
	$\dfrac{{{y}-{5}}}{{{x}-{7}}}$	$={m}$
	${y}-{5}$	$={m}{x}-{7}{m}$
	${m}{x}-{y}-{7}{m}+{5}$	$={0}$	1A


(bii)	Consider ${P}{Q}$ as the base of $\triangle{P}{Q}{R}$ .
	The area is maximum when the height is equal to the radius,
	resulting ${G}{R}\bot{P}{Q}$ and $\angle{R}{P}{Q}$	$=\angle{R}{Q}{P}={45}^{\circ}$ .	1M
	If ${m}>{0}$ , the point ${R}$ will be located as:

{x}

{y}

{P}

{Q}

{R}

{L}

{45}^{\circ}

Inclination of ${P}{Q}$	$={{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{{5}-{3}}}{{{7}+{1}}}\right)}}$
$\therefore{m}$	$={\tan{{\left({{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{{5}-{3}}}{{{7}+{1}}}\right)}}+{45}^{\circ}\right)}}}$	1M
${m}$	$={1.67}$ (cor. to 3 sig. fig.)	1A

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