slope, inclination, circle

Question Sample Titled 'slope, inclination, circle'

題目

P(1,3){P}{\left(-{1},{3}\right)} and Q(7,5){Q}{\left({7},{5}\right)} are two points on the circle C{C} with centre G{G} such that PQ{P}{Q} is a diameter.

(a)Find the equation of C{C}.(2 marks)
(b)L{L} is a straight line passing through Q{Q} with slope m{m} where m14{m}\ne\dfrac{{1}}{{4}}.
(i)Express the equation of L{L} in terms of m{m}.
(ii)Find the positive value of m{m} such that the area of PQR\triangle{P}{Q}{R} is maximum.
(4 marks)

題解

(a)Centre of C{C}=(1+72,3+52)={\left(\dfrac{{-{1}+{7}}}{{2}},\dfrac{{{3}+{5}}}{{2}}\right)}
=(3,4)={\left({3},{4}\right)}1A
Radius of C{C}=(3+1)2+(43)2=\sqrt{{{\left({3}+{1}\right)}^{{2}}+{\left({4}-{3}\right)}^{{2}}}}
=17=\sqrt{{{17}}}
Equation of C:{C}:
(x3)2+(y4)2{\left({x}-{3}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{4}\right)}^{{2}}=17={17}1A
(bi)Equation of L:{L}:
y5x7\dfrac{{{y}-{5}}}{{{x}-{7}}}=m={m}
y5{y}-{5}=mx7m={m}{x}-{7}{m}
mxy7m+5{m}{x}-{y}-{7}{m}+{5}=0={0}1A
(bii)Consider PQ{P}{Q} as the base of PQR\triangle{P}{Q}{R}.
The area is maximum when the height is equal to the radius,
resulting GRPQ{G}{R}\bot{P}{Q} and RPQ\angle{R}{P}{Q}=RQP=45=\angle{R}{Q}{P}={45}^{\circ}.1M
If m>0{m}>{0}, the point R{R} will be located as:

x{x}y{y}P{P}Q{Q}R{R}L{L}45{45}^{\circ}

Inclination of PQ{P}{Q}=tan1(537+1)={{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{{5}-{3}}}{{{7}+{1}}}\right)}}
m\therefore{m}=tan(tan1(537+1)+45)={\tan{{\left({{\tan}^{{-{1}}}{\left(\tfrac{{{5}-{3}}}{{{7}+{1}}}\right)}}+{45}^{\circ}\right)}}}1M
m{m}=1.67={1.67} (cor. to 3 sig. fig.)1A



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