### Similar triangles in trapezium; triangles with different shapes but share the same area

Question Sample Titled 'Similar triangles in trapezium; triangles with different shapes but share the same area'

In the figure, ${A}{B}{C}{D}$ is a trapezium such that ${A}{B}$$//$${C}{D}$ . ${M}$ is the point of intersection of ${A}{D}$ and ${B}{C}$ . If ${A}{B}:{C}{D}={8}:{7}$ and the area of $\triangle{A}{B}{M}={120}$ $\text{cm}^{{2}}$ , then ${(}$ the area of $\triangle{A}{M}{C}+$ the area of $\triangle{B}{M}{D}$ ${)}=$

${A}$${B}$${C}$${D}$${M}$
A
${210}$ $\text{cm}^{{2}}$ .
B
${105}$ $\text{cm}^{{2}}$ .
C
${330}$ $\text{cm}^{{2}}$ .
D
${240}$ $\text{cm}^{{2}}$ .

 Note that $\triangle{A}{B}{M}~\triangle{D}{C}{M}$ ${B}{M}:{C}{M}$ $={A}{B}:{D}{C}$ corr. sides, ∼△s  $={8}:{7}$ $\therefore$The area of $\triangle{A}{B}{C}:$the area of $\triangle{A}{B}{M}$ $={\left({8}+{7}\right)}:{8}={15}:{8}$ The area of $\triangle{A}{B}{C}$ $=\dfrac{{{15}}}{{8}}\times{120}$  $={225}$ $\text{cm}^{{2}}$  Note that the area of $\triangle{A}{B}{C}=$the area of $\triangle{A}{B}{D}$ $\therefore$ the area of $\triangle{A}{M}{C}+$ the area of $\triangle{B}{M}{D}$ $=$the area of $\triangle{A}{B}{C}+$the area of $\triangle{A}{B}{D}-{2}\times$the area of $\triangle{A}{B}{M}$ $={2}\times{225}-{2}\times{120}$ $={210}$ $\text{cm}^{{2}}$

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