### similar triangles in rectangle

Question Sample Titled 'similar triangles in rectangle'

In the figure, ${A}{B}{C}{D}$ is a rectangle. ${M}$ is a point on ${C}{D}$ such that ${A}{M}$ and ${B}{D}$ intersects at ${O}$. It is given that $\angle{A}{D}{B}=\angle{O}{M}{D}$.

${O}$${A}$${B}$${C}$${D}$${M}$

 (a) Show that $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{M}{O}{D}$. (1 marks) (b) Is $\angle{A}{O}{B}$ a right angle? Explain your answer. (1 marks) (c) If ${A}{B}$ $={24}$ $\text{cm}$ and ${A}{D}={7}$ $\text{cm}$, find ${O}{M}$. (4 marks)

 (a) $\angle{A}{B}{O}$ $=\angle{M}{D}{O}$ and $\angle{B}{A}{O}=\angle{D}{M}{O}$ alt $\angle{s}$，${A}{B}$$//$${C}{D}$ 1M ∴  $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{M}{O}{D}$ AA  (b) $\angle{A}{O}{D}$ $=\angle{O}{M}{D}+\angle{M}{D}{O}$ ext. ∠ of △ 1M  $=\angle{A}{D}{B}+\angle{M}{D}{O}$ $\angle{A}{D}{B}=\angle{O}{M}{D}$  $=\angle{A}{D}{B}$  $={90}^{\circ}$ $\angle{A}{O}{B}$ $={180}^{\circ}-\angle{A}{O}{D}$  $={180}^{\circ}-{90}^{\circ}$  $={90}^{\circ}$ ∴  $\angle{A}{O}{B}$ is a right angle.  (c) ${B}{D}^{{2}}$ $={A}{B}^{{2}}+{A}{D}^{{2}}$ Pyth. theorem ${B}{D}$ $={25}$ $\text{cm}$ 1A  Note that $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{D}{A}{B}$. AA ∴  $\dfrac{{{A}{O}}}{{{D}{A}}}$ $=\dfrac{{{O}{B}}}{{{A}{B}}}=\dfrac{{{A}{B}}}{{{D}{B}}}$ corr. sides, ∼△s 1M $\dfrac{{{A}{O}}}{{7}}$ $=\dfrac{{{O}{B}}}{{24}}=\dfrac{{24}}{{25}}$ ${A}{O}$ $=\dfrac{{168}}{{25}}$ $\text{cm}$ ${O}{B}$ $=\dfrac{{576}}{{25}}$ $\text{cm}$  ∵  $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{M}{O}{D}$ ∴  $\dfrac{{{O}{M}}}{{{O}{A}}}$ $=\dfrac{{{O}{D}}}{{{O}{B}}}$ corr. sides, ∼△s 1M ${O}{M}$ $={A}{O}\times\dfrac{{{B}{D}-{O}{B}}}{{{O}{B}}}$  $=\dfrac{{343}}{{600}}$ $\text{cm}$ 1A

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