similar triangles in rectangle

Question Sample Titled 'similar triangles in rectangle'

題目

In the figure, ${A}{B}{C}{D}$ is a rectangle. ${M}$ is a point on ${C}{D}$ such that ${A}{M}$ and ${B}{D}$ intersects at ${O}$ . It is given that $\angle{A}{D}{B}=\angle{O}{M}{D}$ .

{O}

{A}

{B}

{C}

{D}

{M}

(a)	Show that $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{M}{O}{D}$ .		(1 marks)
(b)	Is $\angle{A}{O}{B}$ a right angle? Explain your answer.		(1 marks)
(c)	If ${A}{B}$	$={24}$ $\text{cm}$ and ${A}{D}={7}$ $\text{cm}$ , find ${O}{M}$ .	(4 marks)

題解

(a)	$\angle{A}{B}{O}$	$=\angle{M}{D}{O}$ and $\angle{B}{A}{O}=\angle{D}{M}{O}$	alt $\angle{s}$ ， ${A}{B}$ $//$ ${C}{D}$	1M
	∴ $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{M}{O}{D}$		AA	1M

(b)	$\angle{A}{O}{D}$	$=\angle{O}{M}{D}+\angle{M}{D}{O}$	ext. ∠ of △	1M
		$=\angle{A}{D}{B}+\angle{M}{D}{O}$	$\angle{A}{D}{B}=\angle{O}{M}{D}$
		$=\angle{A}{D}{B}$
		$={90}^{\circ}$
	$\angle{A}{O}{B}$	$={180}^{\circ}-\angle{A}{O}{D}$
		$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}$
		$={90}^{\circ}$
	∴ $\angle{A}{O}{B}$ is a right angle.

(c)	${B}{D}^{{2}}$	$={A}{B}^{{2}}+{A}{D}^{{2}}$	Pyth. theorem
	${B}{D}$	$={25}$ $\text{cm}$		1A

	Note that $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{D}{A}{B}$ .		AA
	∴ $\dfrac{{{A}{O}}}{{{D}{A}}}$	$=\dfrac{{{O}{B}}}{{{A}{B}}}=\dfrac{{{A}{B}}}{{{D}{B}}}$	corr. sides, ∼△s	1M
	$\dfrac{{{A}{O}}}{{7}}$	$=\dfrac{{{O}{B}}}{{24}}=\dfrac{{24}}{{25}}$
	${A}{O}$	$=\dfrac{{168}}{{25}}$ $\text{cm}$
	${O}{B}$	$=\dfrac{{576}}{{25}}$ $\text{cm}$

	∵ $\triangle{A}{O}{B}$ ~ $\triangle{M}{O}{D}$
	∴ $\dfrac{{{O}{M}}}{{{O}{A}}}$	$=\dfrac{{{O}{D}}}{{{O}{B}}}$	corr. sides, ∼△s	1M
	${O}{M}$	$={A}{O}\times\dfrac{{{B}{D}-{O}{B}}}{{{O}{B}}}$		1M
		$=\dfrac{{343}}{{600}}$ $\text{cm}$		1A

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