### Sector, angles in circle

Question Sample Titled 'Sector, angles in circle'

In the figure, ${A}{B}{C}$ is a sector with radius ${11}$ $\text{cm}$ and ${C}$ is the centre of the sector. ${A}{C}$ is a diameter of the semicircle ${A}{D}{C}$ and ${B}{C}$ is a diameter of the semicircle ${B}{D}{C}$. It is given that $\stackrel{⏜}{AD}$$\overparen{AD}$$：$$\stackrel{⏜}{DC}$$\overparen{DC}$$=$$\stackrel{⏜}{BD}$$\overparen{BD}$$：$$\stackrel{⏜}{DC}$$\overparen{DC}$$={7}:{3}$ . Find the length of ${C}{D}$.

${A}$${C}$${B}$${D}$
A
${4.99}$ $\text{cm}$
B
${2.5}$ $\text{cm}$
C
${1.25}$ $\text{cm}$
D
${9.98}$ $\text{cm}$

${A}$${C}$${B}$${D}$

 Join ${A}{D}$. $\angle{A}{D}{C}$ $={90}^{\circ}$ ∠ in semi-circle ∵  AD⏜$\stackrel{⏜}{AD}$$\overparen{AD}$$:$DC⏜$\stackrel{⏜}{DC}$$\overparen{DC}$$={7}:{3}$ ∴  $\angle{D}{C}{A}:\angle{D}{A}{C}={7}:{3}$ arcs prop. to ∠s at ⊙ce ∵  $\angle{D}{C}{A}+\angle{D}{A}{C}+\angle{A}{D}{C}={180}^{\circ}$ ∠ sum of △ $\angle{D}{C}{A}+\angle{D}{A}{C}={90}^{\circ}$ ∴  $\angle{D}{A}{C}$ $={90}^{\circ}\times\dfrac{{3}}{{{7}+{3}}}$  $={27}^{\circ}$ In $\angle{D}{A}{C},$ ${\sin}\angle{D}{A}{C}$ $=\dfrac{{{C}{D}}}{{{A}{C}}}$ ${{\sin{{27}}}^{\circ}}$ $=\dfrac{{{C}{D}}}{{{11}}}$ ${C}{D}$ $={4.99}$ $\text{cm}$

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