### remainder thm

Question Sample Titled 'remainder thm'

Let ${f{{\left({x}\right)}}}={2}{x}^{{3}}-{x}^{{2}}+{k}{x}-{12}$, where ${k}$ is a constant. When ${f{{\left({x}\right)}}}$ is divided by ${x}-{2}$, the remainder is $-{22}$.

 (a) Prove that ${x}-{3}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}$. (b) Tom claims that the equation of ${f{{\left({x}\right)}}}={0}$ has only ${1}$ real root. Do you agree? Explain your answer.  (4 marks)

 (a) By remainder theorem, ${f{{\left({2}\right)}}}$ $=-{22}$ ${2}{\left({2}\right)}^{{3}}-{\left({2}\right)}^{{2}}+{k}{\left({2}\right)}-{12}$ $=-{22}$ ${k}$ $=-{11}$ 1A $\therefore{f{{\left({x}\right)}}}$ $={2}{x}^{{3}}-{x}^{{2}}-{11}{x}-{12}$ $\therefore{f{{\left({3}\right)}}}$ $={2}{\left({3}\right)}^{{3}}-{\left({3}\right)}^{{2}}-{11}{\left({3}\right)}-{12}$  $={0}$ 1A $\therefore{x}-{3}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}$.  (b) From (a), ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={\left({x}-{3}\right)}{\left({2}{x}^{{2}}+{5}{x}+{4}\right)}$ 1A Consider ${2}{x}^{{2}}+{5}{x}+{4}$ $={0}$. $\Delta$ $={5}^{{2}}-{4}{\left({2}\right)}{\left({4}\right)}$  $=-{7}$  $<{0}$ Thus, ${2}{x}^{{2}}+{5}{x}+{4}$ $={0}$ has no real root. $\therefore{f{{\left({x}\right)}}}$ $={0}$ has only ${1}$ real root. Thus, he is correct. 1A

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