### Remainder

Question Sample Titled 'Remainder'

Consider ${f{{\left({x}\right)}}}={x}^{{3}}+{5}{x}^{{2}}-{b}{x}-{5}$ , where ${b}$ is a real constant. When ${f{{\left({x}\right)}}}$ is divided by ${x}+{2}$ , the remainder is ${9}$ .

 (a) Prove that ${x}+{5}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}$ . (4 marks) (b) Alicia claims that all the roots of ${f{{\left({x}\right)}}}={0}$ are distinct. Is she correct? Explain your answer. (2 marks)

 (a) ${f{{\left(-{2}\right)}}}$ $={\left(-{2}\right)}^{{3}}+{5}{\left(-{2}\right)}^{{2}}-{b}{\left(-{2}\right)}-{5}$ 1M $-{8}+{20}+{2}{b}-{5}$ $={9}$ ${b}$ $={1}$ 1A $\therefore{f{{\left({x}\right)}}}$ $={x}^{{3}}+{5}{x}^{{2}}-{x}-{5}$ ${f{{\left(-{5}\right)}}}$ $={\left(-{5}\right)}^{{3}}+{5}{\left(-{5}\right)}^{{2}}-{\left(-{5}\right)}-{5}$ 1M  $={0}$ $\therefore{x}+{5}$ is a factor of ${f{{\left({x}\right)}}}$ . 1A  (b) From (a)， ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={x}^{{3}}+{5}{x}^{{2}}-{x}-{5}$  $={\left({x}+{5}\right)}{\left({x}^{{2}}-{1}\right)}$  $={\left({x}+{5}\right)}{\left({x}-{1}\right)}{\left({x}+{1}\right)}$ 1M $\therefore$The roots of ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={0}$ are $-{5}$ , $-{1}$ and ${1}$ respectively. (distinct) Thus, she is correct. 1A

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