Ratio of sides; tangent to circle; sine formula

Question Sample Titled 'Ratio of sides; tangent to circle; sine formula'

In the figure, ${E}{C}{D}$ is the tangent to the circle ${A}{B}{C}$ at ${C}$. It is given that ${A}{B}{D}$ is a straight line and ${B}{D}:{C}{D}={3}:{7}$. Find ${A}{B}:{C}{D}$ .

${E}$${C}$${D}$${A}$${B}$
A
${40}:{21}$
B
${21}:{40}$
C
${7}:{3}$
D
${3}:{7}$

 ${B}{D}:{C}{D}$ $={3}:{7}$ Let ${B}{D}$ $={3}{k}$ and ${C}{D}={7}{k}$ , where ${k}$ is a constant. Join ${B}{C}$. Let $\angle{A}{C}{E}$ $=\angle{A}{B}{C}=\alpha$ . ∠ in alt. segment Let $\angle{C}{A}{B}$ $=\angle{B}{C}{D}=\beta$ . ∠ in alt. segment

${E}$${C}$${D}$${A}$${B}$

 In $\triangle{B}{C}{D}$ , by the sine formula, $\dfrac{{{B}{D}}}{{{\sin}\angle{B}{C}{D}}}$ $=\dfrac{{{C}{D}}}{{{\sin}\angle{C}{B}{D}}}$ $\dfrac{{{3}{k}}}{{{\sin{\beta}}}}$ $=\dfrac{{{7}{k}}}{{{\sin{{\left({180}^{\circ}-\alpha\right)}}}}}$ $\dfrac{{{\sin{\alpha}}}}{{{\sin{\beta}}}}$ $=\dfrac{{7}}{{3}}$  In $\triangle{A}{C}{D}$ , by the sine formula, $\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin}\angle{A}{C}{D}}}$ $=\dfrac{{{C}{D}}}{{{\sin}\angle{C}{A}{D}}}$ $\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin{{\left({180}^{\circ}-\alpha\right)}}}}}$ $=\dfrac{{{7}{k}}}{{{\sin{\beta}}}}$ ${A}{D}$ $=\dfrac{{{7}{k}{\left({\sin{\alpha}}\right)}}}{{{\sin{\beta}}}}$  $=\dfrac{{49}}{{3}}{k}$  ${A}{B}:{C}{D}$ $={\left({A}{D}-{B}{D}\right)}:{C}{D}$  $={\left(\dfrac{{49}}{{3}}{k}-{3}{k}\right)}:{7}{k}$  $=\dfrac{{40}}{{3}}:{7}$  $={40}:{21}$

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