Ratio of sides; tangent to circle; sine formula

Question Sample Titled 'Ratio of sides; tangent to circle; sine formula'

題目

In the figure, ECD{E}{C}{D} is the tangent to the circle ABC{A}{B}{C} at C{C}. It is given that ABD{A}{B}{D} is a straight line and BD:CD=3:7{B}{D}:{C}{D}={3}:{7}. Find AB:CD{A}{B}:{C}{D} .

E{E}C{C}D{D}A{A}B{B}
A
40:21{40}:{21}
B
21:40{21}:{40}
C
7:3{7}:{3}
D
3:7{3}:{7}
題解

BD:CD{B}{D}:{C}{D}=3:7={3}:{7}
Let BD{B}{D}=3k={3}{k} and CD=7k{C}{D}={7}{k} , where k{k} is a constant.
Join BC{B}{C}.
Let ACE\angle{A}{C}{E}=ABC=α=\angle{A}{B}{C}=\alpha .∠ in alt. segment
Let CAB\angle{C}{A}{B}=BCD=β=\angle{B}{C}{D}=\beta .∠ in alt. segment

E{E}C{C}D{D}A{A}B{B}

In BCD\triangle{B}{C}{D} , by the sine formula,
BDsinBCD\dfrac{{{B}{D}}}{{{\sin}\angle{B}{C}{D}}}=CDsinCBD=\dfrac{{{C}{D}}}{{{\sin}\angle{C}{B}{D}}}
3ksinβ\dfrac{{{3}{k}}}{{{\sin{\beta}}}}=7ksin(180α)=\dfrac{{{7}{k}}}{{{\sin{{\left({180}^{\circ}-\alpha\right)}}}}}
sinαsinβ\dfrac{{{\sin{\alpha}}}}{{{\sin{\beta}}}}=73=\dfrac{{7}}{{3}}
In ACD\triangle{A}{C}{D} , by the sine formula,
ADsinACD\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin}\angle{A}{C}{D}}}=CDsinCAD=\dfrac{{{C}{D}}}{{{\sin}\angle{C}{A}{D}}}
ADsin(180α)\dfrac{{{A}{D}}}{{{\sin{{\left({180}^{\circ}-\alpha\right)}}}}}=7ksinβ=\dfrac{{{7}{k}}}{{{\sin{\beta}}}}
AD{A}{D}=7k(sinα)sinβ=\dfrac{{{7}{k}{\left({\sin{\alpha}}\right)}}}{{{\sin{\beta}}}}
=493k=\dfrac{{49}}{{3}}{k}
AB:CD{A}{B}:{C}{D}=(ADBD):CD={\left({A}{D}-{B}{D}\right)}:{C}{D}
=(493k3k):7k={\left(\dfrac{{49}}{{3}}{k}-{3}{k}\right)}:{7}{k}
=403:7=\dfrac{{40}}{{3}}:{7}
=40:21={40}:{21}



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