Properties of quadratic equations and inequalities

Question Sample Titled 'Properties of quadratic equations and inequalities'

If the quadratic equation ${h}{\left({x}+{5}\right)}^{{2}}={k}$ , where ${h}$ and ${k}$ are constants, has distinct real roots, then which of the following may be true?

 I. ${h}$ $>{0}$ and ${k}>{0}$ II. ${h}$ $<{0}$ and ${k}<{0}$ III. ${h}$ $>{0}$ and ${k}={0}$

A
I and II only
B
I only
C
I, II and III
D
II and III only

 ${h}{\left({x}+{5}\right)}^{{2}}$ $={k}$ ${h}{\left({x}^{{2}}+{10}{x}+{25}\right)}$ $={k}$ ${h}{x}^{{2}}+{10}{h}{x}+{25}{h}-{k}$ $={0}$ ∵   The quadratic equation has distinct real roots. ∴  $\Delta>{0}$ ${\left({10}{h}\right)}^{{2}}-{4}{\left({h}\right)}{\left({25}{h}-{k}\right)}$ $>{0}$ ${100}{h}^{{2}}-{100}{h}^{{2}}+{4}{h}{k}$ $>{0}$ ${h}{k}$ $>{0}$ ∵  ${h}{k}>{0}$ ∴  ${\left({h}>{0}\right.}$ and ${k}>{0}{)}$ or ${\left({h}<{0}\right.}$ and ${k}<{0}{)}$ , and also ${k}\ne{0}$ .

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