Proof geometry

Question Sample Titled 'Proof geometry'

題目

(a)In Figure (a) , D{D} , B{B} and C{C} are points on circle C1{C}_{{1}} such that DC{D}{C} is a diameter. B{B} , A{A} , O{O} and C{C} are points on circle C2{C}_{{2}} . It is given that DC{D}{C} is the tangent to C2{C}_{{2}} at C{C} , DBA{D}{B}{A} is a straight line, BA=OA{B}{A}={O}{A}, E{E} is the point of intersection of OB{O}{B} and AC{A}{C} and DBBC{D}{B}\ne{B}{C} . Prove that DC{D}{C}////OB{O}{B} .(3 marks)

O{O}D{D}B{B}A{A}C{C}E{E}C1{C}_{{1}}C2{C}_{{2}}Figure (a)

(b)A rectangular coordinate system, with O{O} as the origin, is introduced to figure (a) as shown below. OA{O}{A} lies on the positive x{x}-axis and OC{O}{C} lies on the positive y{y}-axis. The equation of C2{C}_{{2}} is x2+y210xky=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{10}{x}-{k}{y}={0} and the equation of DC{D}{C} is 5x4y+4k=0{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}={0} . Find the value of k{k} .(5 marks)

x{x}y{y}O{O}D{D}B{B}A{A}C{C}E{E}C1{C}_{{1}}5x4y+4k=0{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}={0}Figure (b)
題解

(a)Let CDB\angle{C}{D}{B}=θ=\theta .
∵  DC{D}{C} is a diameter of C1{C}_{{1}} .
∴  DBC\angle{D}{B}{C}=90={90}^{\circ}∠ in semi-circle
DCB\angle{D}{C}{B}=180CDBDBC={180}^{\circ}-\angle{C}{D}{B}-\angle{D}{B}{C}∠ sum of △
=180θ90={180}^{\circ}-\theta-{90}^{\circ}
=90θ={90}^{\circ}-\theta
∵  DC{D}{C} is the tangent to C2{C}_{{2}} at C{C}.
COB\angle{C}{O}{B}=DCB=\angle{D}{C}{B}∠ in alt. segment
=90θ={90}^{\circ}-\theta
COA\angle{C}{O}{A}=DBC=\angle{D}{B}{C}ext. ∠, cyclic quad.
=90={90}^{\circ}
BOA\angle{B}{O}{A}=COACOB=\angle{C}{O}{A}-\angle{C}{O}{B}
=90(90θ)={90}^{\circ}-{\left({90}^{\circ}-\theta\right)}
=θ=\theta
∵  BA{B}{A}=OA={O}{A}
∴  OBA\angle{O}{B}{A}=BOA=θ=\angle{B}{O}{A}=\thetabase ∠s, isos. △
∴  OBA\angle{O}{B}{A}=CDB=\angle{C}{D}{B}
∴  DC{D}{C}////BO{B}{O}corr. ∠s equal
(3 marks):Correct proof with reasons
(2 marks):Correct proof with missing reason(s)
(1 mark):Incomplete proof with any one correct step and one correct reason

(b)Equation of DC{D}{C} :
5x4y+4k{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}=0={0}
y{y}=54x+k=\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}(1)\ldots{\left({1}\right)}1M
Equation of C2{C}_{{2}} :
x2+y210xky{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{10}{x}-{k}{y}=0={0}(2)\ldots{\left({2}\right)}
Put (1){\left({1}\right)} into (2){\left({2}\right)} ,
x2+(54x+k)210xk(54x+k){x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}\right)}^{{2}}-{10}{x}-{k}{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}\right)}=0={0}1M
4116x2+(54k10)x\dfrac{{41}}{{16}}{x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}{x}=0={0}
∵  DC{D}{C} is a tangent to C2{C}_{{2}} .
∴  Δ\Delta=0={0}1M
(54k10)24×4116×0{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}^{{2}}-{4}\times\dfrac{{41}}{{16}}\times{0}=0={0}1M
(54k10)2{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}^{{2}}=0={0}
k{k}=8={8}1A



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