Proof geometry

Question Sample Titled 'Proof geometry'

題目

(a)

In Figure (a) ,

{D}

{B}

and

{C}

are points on circle

{C}_{{1}}

such that

{D}{C}

is a diameter.

{B}

{A}

{O}

and

{C}

are points on circle

{C}_{{2}}

. It is given that

{D}{C}

is the tangent to

{C}_{{2}}

{C}

{D}{B}{A}

is a straight line,

{B}{A}={O}{A}

{E}

is the point of intersection of

{O}{B}

and

{A}{C}

and

{D}{B}\ne{B}{C}

. Prove that

{D}{C}

//

{O}{B}

(3 marks)

{O}

{D}

{B}

{A}

{C}

{E}

{C}_{{1}}

{C}_{{2}}

Figure (a)

(b)

A rectangular coordinate system, with

{O}

as the origin, is introduced to figure (a) as shown below.

{O}{A}

lies on the positive

{x}

-axis and

{O}{C}

lies on the positive

{y}

-axis. The equation of

{C}_{{2}}

{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{10}{x}-{k}{y}={0}

and the equation of

{D}{C}

{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}={0}

. Find the value of

{k}

(5 marks)

{x}

{y}

{O}

{D}

{B}

{A}

{C}

{E}

{C}_{{1}}

{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}={0}

Figure (b)

題解

(a)	Let $\angle{C}{D}{B}$	$=\theta$ .
	∵ ${D}{C}$ is a diameter of ${C}_{{1}}$ .
	∴ $\angle{D}{B}{C}$	$={90}^{\circ}$	∠ in semi-circle
	$\angle{D}{C}{B}$	$={180}^{\circ}-\angle{C}{D}{B}-\angle{D}{B}{C}$	∠ sum of △
		$={180}^{\circ}-\theta-{90}^{\circ}$
		$={90}^{\circ}-\theta$

	∵ ${D}{C}$ is the tangent to ${C}_{{2}}$ at ${C}$ .
	$\angle{C}{O}{B}$	$=\angle{D}{C}{B}$	∠ in alt. segment
		$={90}^{\circ}-\theta$

	$\angle{C}{O}{A}$	$=\angle{D}{B}{C}$	ext. ∠, cyclic quad.
		$={90}^{\circ}$

	$\angle{B}{O}{A}$	$=\angle{C}{O}{A}-\angle{C}{O}{B}$
		$={90}^{\circ}-{\left({90}^{\circ}-\theta\right)}$
		$=\theta$

	∵ ${B}{A}$	$={O}{A}$
	∴ $\angle{O}{B}{A}$	$=\angle{B}{O}{A}=\theta$	base ∠s, isos. △
	∴ $\angle{O}{B}{A}$	$=\angle{C}{D}{B}$
	∴ ${D}{C}$ $//$ ${B}{O}$		corr. ∠s equal

	(3 marks)：Correct proof with reasons
	(2 marks)：Correct proof with missing reason(s)
	(1 mark)：Incomplete proof with any one correct step and one correct reason

(b)	Equation of ${D}{C}$ :
	${5}{x}-{4}{y}+{4}{k}$		$={0}$
	${y}$		$=\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}$	$\ldots{\left({1}\right)}$	1M
	Equation of ${C}_{{2}}$ :
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{10}{x}-{k}{y}$		$={0}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
	Put ${\left({1}\right)}$ into ${\left({2}\right)}$ ,
	${x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}\right)}^{{2}}-{10}{x}-{k}{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}\right)}$		$={0}$		1M
	$\dfrac{{41}}{{16}}{x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}{x}$		$={0}$
	∵ ${D}{C}$ is a tangent to ${C}_{{2}}$ .
	∴	$\Delta$	$={0}$		1M
	${\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}^{{2}}-{4}\times\dfrac{{41}}{{16}}\times{0}$		$={0}$		1M
	${\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}^{{2}}$		$={0}$
	${k}$		$={8}$		1A

專業備試計劃

DSE Preparation Plan

專攻 DSE 數學科，助你高效穩固地提昇評級

Level 4+ 保證及 5** 獎賞

僅中四至中六適用

最優化操練路線

一站滿足所有操數需要

豐富全面溫習套裝及備試工具

首 14 日無條件全額退款

常見問題

有英文版嗎？

有。請在畫面頂部按「用戶」圖示，然後按「設定」。在語言選項中，你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」，兩者皆有中英文版。

ePractice 是甚麼？

ePractice 是一個專為中四至中六而設的應用程式，旨為協助學生高效地預備 DSE 數學（必修部分）考試。ePractice 是網站應用程式，因此無論使用任何裝置、平台，都可以在瀏覽器開啟使用。更多詳情請到簡介頁面。

為甚麼適合中四至中六學生？

由於正式考試（DSE 數學必修部分）有三分之二（約 67%）的內容是初中程度，因此中四學生已經可以操練大部分的試題。提早開始操練，不但可以早一步掌握考試技巧，更可同時鞏固初中的知識，幫助理解高中數學。ePractice 建議學生只需每天操練約 3-5 題，非常輕鬆，也不需花大量時間，已經可以在不知不覺間高效提昇數學能力了。

簡介

ePractice 可以取代傳統補習嗎？

雖然 ePractice 不能完全取代傳統補習（包括補習班及私人補習），但可以絕大程度滿足學生的補習需求，原因除了 ePractice 有特製的極效練習之外，還有豐富的優質教學影片，其講解的效能比一般補習老師更佳！高效練習配合優質講解 ePractice 有超越補習成效的能力！

ePractice 是甚麼？

為甚麼適合中四至中六學生？

帳戶

「體驗帳戶」可以使用多久？

「體驗帳戶」不會過期，但用戶只能做 30 條題目，而且觀看少部分的知識內容。如希望無限量使用 ePractice 的所有練習服務及內容，請成為我們的會員！

有關訂購

如何訂購正式會員？

在主頁按「訂購備試計劃」，再按「選購計劃」，然後選擇適合你的項目。完成後，系統會為你製作訂單，你只需要根據訂單上的簡易指示繳款即可。

甚麼時候會啟動會員服務？

如閣下使用 PayPal 成功交易，您的會員服務會立即啟動；至於其他付款方式，請把收據發送給我們，我們會在一個工作天內核對交易並啟動您的會藉。

如何查看我的訂單？

在右上角按「用戶」圖像，在「帳單」部分內按「我的帳單」。

有關繳款

有甚麼付款方式？

閣下可使用信用卡 / AlipayHK / Faster Payment System (FPS) 付款。在確定訂單及揀選付款方式後，會有進一步的流程解說。

退款政策

ePractice 提供對所有會員服務購買的 14 天無條件退款保證（恕不適用於服務期少於兩個月的計劃）。請聯絡我們並提供相關訂單編號以進行退款。如您透過信用卡付款，款項將退回至您的信用卡。如使用其他付款方式，請提供您的銀行帳號、FPS ID 或 PayMe ID 以便進行退款轉帳。

使用疑難

有英文版嗎？

有。請在畫面頂部按「用戶」圖示，然後按「設定」。在語言選項中，你可分別選擇「平台語言」及「數學語言」，兩者皆有中英文版。

可以在 ePractice 列印練習或模擬試卷嗎？

只有「教師配套」才能使用「題目編輯器」列印練習及模擬試卷。學生必須在 ePractice 上進行練習。

聯絡我們

查詢使用疑難、大量訂購、合作事宜、慈善、發展建議等等，歡迎以下列方法聯絡我們：

Initiating...