Proof geometry

Question Sample Titled 'Proof geometry'

題目

(a)

In Figure (a) ,

{D}

{B}

and

{C}

are points on circle

{C}_{{1}}

such that

{D}{C}

is a diameter.

{B}

{A}

{O}

and

{C}

are points on circle

{C}_{{2}}

. It is given that

{D}{C}

is the tangent to

{C}_{{2}}

{C}

{D}{B}{A}

is a straight line,

{B}{A}={O}{A}

{E}

is the point of intersection of

{O}{B}

and

{A}{C}

and

{D}{B}\ne{B}{C}

. Prove that

{D}{C}

//

{O}{B}

(3 marks)

{O}

{D}

{B}

{A}

{C}

{E}

{C}_{{1}}

{C}_{{2}}

Figure (a)

(b)

A rectangular coordinate system, with

{O}

as the origin, is introduced to figure (a) as shown below.

{O}{A}

lies on the positive

{x}

-axis and

{O}{C}

lies on the positive

{y}

-axis. The equation of

{C}_{{2}}

{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{10}{x}-{k}{y}={0}

and the equation of

{D}{C}

{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}={0}

. Find the value of

{k}

(5 marks)

{x}

{y}

{O}

{D}

{B}

{A}

{C}

{E}

{C}_{{1}}

{5}{x}-{4}{y}+{4}{k}={0}

Figure (b)

題解

(a)	Let $\angle{C}{D}{B}$	$=\theta$ .
	∵ ${D}{C}$ is a diameter of ${C}_{{1}}$ .
	∴ $\angle{D}{B}{C}$	$={90}^{\circ}$	∠ in semi-circle
	$\angle{D}{C}{B}$	$={180}^{\circ}-\angle{C}{D}{B}-\angle{D}{B}{C}$	∠ sum of △
		$={180}^{\circ}-\theta-{90}^{\circ}$
		$={90}^{\circ}-\theta$

	∵ ${D}{C}$ is the tangent to ${C}_{{2}}$ at ${C}$ .
	$\angle{C}{O}{B}$	$=\angle{D}{C}{B}$	∠ in alt. segment
		$={90}^{\circ}-\theta$

	$\angle{C}{O}{A}$	$=\angle{D}{B}{C}$	ext. ∠, cyclic quad.
		$={90}^{\circ}$

	$\angle{B}{O}{A}$	$=\angle{C}{O}{A}-\angle{C}{O}{B}$
		$={90}^{\circ}-{\left({90}^{\circ}-\theta\right)}$
		$=\theta$

	∵ ${B}{A}$	$={O}{A}$
	∴ $\angle{O}{B}{A}$	$=\angle{B}{O}{A}=\theta$	base ∠s, isos. △
	∴ $\angle{O}{B}{A}$	$=\angle{C}{D}{B}$
	∴ ${D}{C}$ $//$ ${B}{O}$		corr. ∠s equal

	(3 marks)：Correct proof with reasons
	(2 marks)：Correct proof with missing reason(s)
	(1 mark)：Incomplete proof with any one correct step and one correct reason

(b)	Equation of ${D}{C}$ :
	${5}{x}-{4}{y}+{4}{k}$		$={0}$
	${y}$		$=\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}$	$\ldots{\left({1}\right)}$	1M
	Equation of ${C}_{{2}}$ :
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{10}{x}-{k}{y}$		$={0}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
	Put ${\left({1}\right)}$ into ${\left({2}\right)}$ ,
	${x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}\right)}^{{2}}-{10}{x}-{k}{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{x}+{k}\right)}$		$={0}$		1M
	$\dfrac{{41}}{{16}}{x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}{x}$		$={0}$
	∵ ${D}{C}$ is a tangent to ${C}_{{2}}$ .
	∴	$\Delta$	$={0}$		1M
	${\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}^{{2}}-{4}\times\dfrac{{41}}{{16}}\times{0}$		$={0}$		1M
	${\left(\dfrac{{5}}{{4}}{k}-{10}\right)}^{{2}}$		$={0}$
	${k}$		$={8}$		1A

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