### Perpendicular lines intersect a circle, point of division

Question Sample Titled 'Perpendicular lines intersect a circle, point of division'

In the figure, ${L}_{{1}}$ is a straight line that cuts the circle at ${A}{\left({48},{88}\right)}$ and ${B}{\left({16},-{8}\right)}$ such that ${A}{B}$ is a diameter of that circle. ${L}_{{2}}:{y}={m}{x}+{c}$ is another line that cuts the circle at ${C}$ and ${D}$ . ${L}_{{1}}$ intersects ${L}_{{2}}$ at ${M}$ where ${M}$ is the mid-point of ${C}{D}$ . If ${A}{M}:{M}{B}={3}:{1}$ , then

${x}$${y}$${A}$${B}$${M}$${C}$${D}$${L}_{{1}}$${L}_{{2}}$
A
${m}=-\dfrac{{1}}{{3}}$ , ${c}={24}$
B
${m}=\dfrac{{1}}{{3}}$ , ${c}=-{24}$
C
${m}={3}$ , ${c}={88}$
D
${m}=-{3}$ , ${c}={88}$

 The slope of AB$=\dfrac{{{88}-{\left(-{8}\right)}}}{{{48}-{\left({16}\right)}}}={3}$ ∵  ${A}{B}$ is a diameter and ${M}$ is the mid-pt. of ${C}{D}$ . ∴  ${A}{B}\bot{C}{D}$ line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord ∴   Slope of ${L}_{{1}}\times$Slope of ${L}_{{2}}$ $=-{1}$ ${m}\times{3}$ $=-{1}$ ${m}$ $=-\dfrac{{1}}{{3}}$

 The coordinates of M $={\left(\dfrac{{{\left({48}\right)}+{3}{\left({16}\right)}}}{{{3}+{1}}},\dfrac{{{\left({88}\right)}+{3}{\left(-{8}\right)}}}{{{3}+{1}}}\right)}={\left({24},{16}\right)}$ By using point-slope form, the equation of ${L}_{{2}}$ is: ${y}$ $=-\dfrac{{1}}{{3}}{x}+{24}$

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《傲慢與偏見》