Perpendicular bisector of radius of circle

Question Sample Titled 'Perpendicular bisector of radius of circle'

題目

The equation of the circle C{C} is x2+y22x6y42=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{x}-{6}{y}-{42}={0} . Denote the centre of the circle by G{G}. F(7,7){F}{\left({7},{7}\right)} is a point lying on C{C}.

(a)Write down the coordinates of G{G}.(1 mark)
(b)The equation of the straight line L{L} is 3x+2y22=0{3}{x}+{2}{y}-{22}={0} . It is found that L{L} cuts C{C} at H{H} and K{K} .
(i)Is L{L} the perpendicular bisector of FG{F}{G} ? Explain your answer.
(ii)Find the perimeter of the quadrilateral FHGK{F}{H}{G}{K} in surd form.
(6 marks)

題解

(a)G{G}=(22,62)={\left(-\dfrac{{-{2}}}{{2}},-\dfrac{{-{6}}}{{2}}\right)}1A
=(1,3)={\left({1},{3}\right)}
(bi)Slope of L{L}=32=-\dfrac{{3}}{{2}}
Slope of FG{F}{G}=7371=\dfrac{{{7}-{3}}}{{{7}-{1}}}1M
=23=\dfrac{{2}}{{3}}
∵  23×(32)=1\dfrac{{2}}{{3}}\times{\left(-\dfrac{{3}}{{2}}\right)}=-{1}
∴  FGL{F}{G}\bot{L}1M
The mid-point of FG=(1+72,3+72)=(4,5){F}{G}={\left(\dfrac{{{1}+{7}}}{{2}},\dfrac{{{3}+{7}}}{{2}}\right)}={\left({4},{5}\right)}
Substitute (4,5){\left({4},{5}\right)} into L{L}, we have
L.H.S=3(4)+2(5)22=0{L}.{H}.{S}={3}{\left({4}\right)}+{2}{\left({5}\right)}-{22}={0}
∴  (4,5){\left({4},{5}\right)} is a point on L{L} . 1M
Thus, L{L} is the perpendicular bisector of FG{F}{G} .1A
(bii)FG{F}{G}== radius of C{C}
=(71)2+(73)2=\sqrt{{{\left({7}-{1}\right)}^{{2}}+{\left({7}-{3}\right)}^{{2}}}}1M
=52=\sqrt{{{52}}}
=213={2}\sqrt{{13}}
∴   Perimeter of FHGK{F}{H}{G}{K}=4×213={4}\times{2}\sqrt{{13}}
=813={8}\sqrt{{13}} units\text{units}1A



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