Perpendicular bisector of radius of circle

Question Sample Titled 'Perpendicular bisector of radius of circle'

題目

The equation of the circle ${C}$ is ${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{x}-{6}{y}-{42}={0}$ . Denote the centre of the circle by ${G}$ . ${F}{\left({7},{7}\right)}$ is a point lying on ${C}$ .

(a)	Write down the coordinates of ${G}$ .		(1 mark)
(b)	The equation of the straight line ${L}$ is ${3}{x}+{2}{y}-{22}={0}$ . It is found that ${L}$ cuts ${C}$ at ${H}$ and ${K}$ .
	(i)	Is ${L}$ the perpendicular bisector of ${F}{G}$ ? Explain your answer.
	(ii)	Find the perimeter of the quadrilateral ${F}{H}{G}{K}$ in surd form.
			(6 marks)

題解

(a)	${G}$	$={\left(-\dfrac{{-{2}}}{{2}},-\dfrac{{-{6}}}{{2}}\right)}$	1A
		$={\left({1},{3}\right)}$
(bi)	Slope of ${L}$	$=-\dfrac{{3}}{{2}}$
	Slope of ${F}{G}$	$=\dfrac{{{7}-{3}}}{{{7}-{1}}}$	1M
		$=\dfrac{{2}}{{3}}$	1M
	∵ $\dfrac{{2}}{{3}}\times{\left(-\dfrac{{3}}{{2}}\right)}=-{1}$
	∴ ${F}{G}\bot{L}$		1M
	The mid-point of ${F}{G}={\left(\dfrac{{{1}+{7}}}{{2}},\dfrac{{{3}+{7}}}{{2}}\right)}={\left({4},{5}\right)}$

	Substitute ${\left({4},{5}\right)}$ into ${L}$ , we have
	${L}.{H}.{S}={3}{\left({4}\right)}+{2}{\left({5}\right)}-{22}={0}$
	∴ ${\left({4},{5}\right)}$ is a point on ${L}$ .		1M
	Thus, ${L}$ is the perpendicular bisector of ${F}{G}$ .		1A

(bii)	${F}{G}$	$=$ radius of ${C}$
		$=\sqrt{{{\left({7}-{1}\right)}^{{2}}+{\left({7}-{3}\right)}^{{2}}}}$	1M
		$=\sqrt{{{52}}}$
		$={2}\sqrt{{13}}$
	∴ Perimeter of ${F}{H}{G}{K}$	$={4}\times{2}\sqrt{{13}}$
		$={8}\sqrt{{13}}$ $\text{units}$	1A

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