### Percentage change of variable of joint variation

Question Sample Titled 'Percentage change of variable of joint variation'

It is given that ${z}$ varies directly as ${x}$ and inversely as $\sqrt{{{y}}}.$ If ${y}$ is decreased by ${64}\%$ and ${z}$ is increased by ${156}\%,$ then ${x}$

A
is increased by ${53.6}\%.$
B
is decreased by ${309.6}\%.$
C
is increased by ${1.6}\%.$
D
is decreased by ${53.6}\%.$

 ${z}$ $={k}\dfrac{{x}}{\sqrt{{{y}}}}$ where ${k}$ is a non-zero constant ${x}$ $=\dfrac{{{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}$ ${x}'$ $=\dfrac{{{\left({1}+\dfrac{{156}}{{100}}\right)}{z}\cdot\sqrt{{{\left({1}-\dfrac{{64}}{{100}}\right)}{y}}}}}{{k}}$ ${x}'$ $=\dfrac{{{2.56}{z}\cdot\sqrt{{{0.36}{y}}}}}{{k}}$ ${x}'$ $=\dfrac{{{1.536}{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}$ ∴   Percentage change of ${x}$  $=\dfrac{{{x}'-{x}}}{{x}}\times{100}\%$  $=\dfrac{{{\left(\dfrac{{{1.536}{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}\right)}-{\left(\dfrac{{{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}\right)}}}{{\dfrac{{{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}}}\times{100}\%$  $=\dfrac{{{\left(\dfrac{{{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}\right)}{\left({1.536}-{1}\right)}}}{{\dfrac{{{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}}}\times{100}\%$ factorize out $\dfrac{{{z}\sqrt{{{y}}}}}{{k}}$  $={\left({1.536}-{1}\right)}\times{100}\%$  $={53.6}\%$ ∴  ${x}$ is increased by ${53.6}\%.$

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