### Partial variation in quadratic form

Question Sample Titled 'Partial variation in quadratic form'

It is given that ${f{{\left({x}\right)}}}$ is the sum of two parts, one part varies as ${x}$ and the other part varies as ${x}^{{2}}$. Suppose that ${f{{\left({3}\right)}}}=-{30}$ and ${f{{\left({9}\right)}}}=-{36}$ .

 (a) Find ${f{{\left({x}\right)}}}$ . (b) Solve the equation ${f{{\left({x}\right)}}}$ $=-{30}$ .

 (a) Let ${f{{\left({x}\right)}}}$ $={h}{x}+{k}{x}^{{2}}$ , where ${h}$ and ${k}$ are non-zero constants. 1A ${f{{\left({3}\right)}}}$ $=-{30}$ ${f{{\left({9}\right)}}}$ $=-{36}$ 1M ${h}{\left({3}\right)}+{k}{\left({3}\right)}^{{2}}$ $=-{30}$ ${h}{\left({9}\right)}+{k}{\left({9}\right)}^{{2}}$ $=-{36}$ ${3}{h}+{9}{k}$ $=-{30}$ ${9}{h}+{81}{k}$ $=-{36}$ ${h}+{3}{k}$ $=-{10}$ $\ldots{\left({1}\right)}$ ${h}+{9}{k}$ $=-{4}$ $\ldots{\left({2}\right)}$ ${\left({2}\right)}-{\left({1}\right)}:$ ${6}{k}$ $={6}$ ${k}$ $={1}$ Subsitute ${k}={1}$ into ${\left({1}\right)}:$ ${h}+{3}{\left({1}\right)}$ $=-{10}$ ${h}$ $=-{13}$ ∴  ${h}=-{13}$ and ${k}={1}$ ∴  ${f{{\left({x}\right)}}}=-{13}{x}+{x}^{{2}}$ 1A  (b) ${f{{\left({x}\right)}}}$ $=-{30}$ $-{13}{x}+{x}^{{2}}$ $=-{30}$ 1M ${x}^{{2}}-{13}{x}+{30}$ $={0}$ ${\left({x}-{3}\right)}{\left({x}-{10}\right)}$ $={0}$ ∴  ${x}={3}$ or ${x}={10}$ 1A

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