orthocentre

Question Sample Titled 'orthocentre'

題目

Suppose ${k}$ is a non-zero real constant.. It is given that ${f{{\left({x}\right)}}}={4}{x}^{{2}}-{6}{k}{x}+{5}{k}^{{2}}$ .

(a)	Does the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ have any ${x}$ -intercept? Explain your answer.	(2 marks)
(b)	Using the method of completing the square, express, in terms of ${k}$ , the coordinates of the vertex of the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ .	(3 marks)
(c)	Let ${A}$ and ${B}$ be the vertices of the graph of ${y}={f{{\left({x}\right)}}}$ and ${y}=\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}-{f{{\left({x}\right)}}}$ respectively in the same rectangular system. Denote the origin by ${O}$ . Brody claims that ${B}$ is the orthocentre of $\triangle{O}{A}{B}$ . Do you agree? Explain your answer.	(3 marks)

題解

(a)	$\Delta$	$={\left(-{6}{k}\right)}^{{2}}-{4}{\left({4}\right)}{\left({5}{k}^{{2}}\right)}$	1M
		$=-{44}{k}^{{2}}$
		$<{0}$
	∴ The graph of ${y}$	$={f{{\left({x}\right)}}}$ has no ${x}$ -intercept.	1A
(b)	${f{{\left({x}\right)}}}$	$={4}{x}^{{2}}-{6}{k}{x}+{5}{k}^{{2}}$
		$={4}{\left({x}^{{2}}-\dfrac{{3}}{{2}}{k}{x}\right)}+{5}{k}^{{2}}$
		$={4}{\left({x}^{{2}}-\dfrac{{3}}{{2}}{k}{x}+{\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}\right)}+{5}{k}^{{2}}$	1M
		$={4}{\left({x}-\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}-{4}\times{\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}+{5}{k}^{{2}}$
		$={4}{\left({x}-\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}+\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}$	1A
	∴ Vertex	$={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}\right)}$	1A

(c)	${A}$	$={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}\right)}$
	For the graph of ${y}$	$=\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}-{f{{\left({x}\right)}}}$ , vertex $={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},{0}\right)}$
	${B}$	$={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},{0}\right)}$	1A
	∵ ${A}{B}$ is a vertical line and ${O}{B}$ is a horizontal line.
	∴ ${A}{B}\bot{O}{B}$
	${A}{B}$ and ${O}{B}$ are two altitudes of $\triangle{O}{A}{B}$ with both passing through ${B}$ .		1M
	∴ ${B}$ is the orthocentre of $\triangle{O}{A}{B}$ .		1A
	∴ He is correct.		1A

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