orthocentre

Question Sample Titled 'orthocentre'

題目

Suppose k{k} is a non-zero real constant.. It is given that f(x)=4x26kx+5k2{f{{\left({x}\right)}}}={4}{x}^{{2}}-{6}{k}{x}+{5}{k}^{{2}}.

(a)Does the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} have any x{x}-intercept? Explain your answer.(2 marks)
(b)Using the method of completing the square, express, in terms of k{k}, the coordinates of the vertex of the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}}.(3 marks)
(c)Let A{A} and B{B} be the vertices of the graph of y=f(x){y}={f{{\left({x}\right)}}} and y=114k2f(x){y}=\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}-{f{{\left({x}\right)}}} respectively in the same rectangular system. Denote the origin by O{O}. Brody claims that B{B} is the orthocentre of OAB\triangle{O}{A}{B}. Do you agree? Explain your answer.(3 marks)

題解

(a)Δ\Delta=(6k)24(4)(5k2)={\left(-{6}{k}\right)}^{{2}}-{4}{\left({4}\right)}{\left({5}{k}^{{2}}\right)}1M
=44k2=-{44}{k}^{{2}}
<0<{0}
∴   The graph of y{y}=f(x)={f{{\left({x}\right)}}} has no x{x}-intercept.1A
(b)f(x){f{{\left({x}\right)}}}=4x26kx+5k2={4}{x}^{{2}}-{6}{k}{x}+{5}{k}^{{2}}
=4(x232kx)+5k2={4}{\left({x}^{{2}}-\dfrac{{3}}{{2}}{k}{x}\right)}+{5}{k}^{{2}}
=4(x232kx+(34k)2(34k)2)+5k2={4}{\left({x}^{{2}}-\dfrac{{3}}{{2}}{k}{x}+{\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}\right)}+{5}{k}^{{2}}1M
=4(x34k)24×(34k)2+5k2={4}{\left({x}-\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}-{4}\times{\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}+{5}{k}^{{2}}
=4(x34k)2+114k2={4}{\left({x}-\dfrac{{3}}{{4}}{k}\right)}^{{2}}+\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}1A
∴   Vertex=(34k,114k2)={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}\right)}1A
(c)A{A}=(34k,114k2)={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}\right)}
For the graph of y{y}=114k2f(x)=\dfrac{{11}}{{4}}{k}^{{2}}-{f{{\left({x}\right)}}}, vertex=(34k,0)={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},{0}\right)}
B{B}=(34k,0)={\left(\dfrac{{3}}{{4}}{k},{0}\right)}1A
∵  AB{A}{B} is a vertical line and OB{O}{B} is a horizontal line.
∴  ABOB{A}{B}\bot{O}{B}
AB{A}{B} and OB{O}{B} are two altitudes of OAB\triangle{O}{A}{B} with both passing through B{B}.1M
∴  B{B} is the orthocentre of OAB\triangle{O}{A}{B}.1A
∴   He is correct.



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