Mid point of intersections of circle and line

Question Sample Titled 'Mid point of intersections of circle and line'

題目

The coordinates of the centre of a circle ${C}$ are ${\left({4},{6}\right)}$ . It is given that the horizontal line ${y}={1}$ is a tangent of ${C}$ .

(a)	Find the equation of ${C}$ .									(2 marks)
(b)	${L}$ is a straight line with slope $-\dfrac{{1}}{{2}}$ and ${x}$ -intercept ${k}$ . ${L}$ cuts ${C}$ at two different points ${A}$ and ${B}$ . Express the coordinates of the mid-point of ${A}$ and ${B}$ in terms of ${k}$ .									(5 marks)

題解

(a)	∵ ${y}={1}$ is a tangent of ${C}$ .
	∴ The radius of circle $={6}-{1}={5}$ units				1A
	Equation of ${C}$ is:
	${\left({x}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{6}\right)}$	$={5}^{{2}}$
	${\left({x}-{4}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{6}\right)}$	$={25}$			1A

(b)	Equation of ${L}$ :
	$\dfrac{{{y}-{0}}}{{{x}-{k}}}$	$=-\dfrac{{1}}{{2}}$			1M
	${x}+{2}{y}-{k}$	$={0}$
	Let ${M}{\left({a},{b}\right)}$ be the mid-pt. of ${A}$ and ${B}$ ,
	and ${O}$ be the centre of ${C}$ .
	${O}{M}\bot{A}{B}$			line joining centre to mid-pt. of chord ⊥ chord	1M
	Slope of ${O}{M}$	$=-{1}\div{\left(-\dfrac{{1}}{{2}}\right)}$
		$={2}$
	∴ $\dfrac{{{b}-{6}}}{{{a}-{4}}}$	$={2}$
	${b}-{6}$	$={2}{a}-{8}$
	${2}{a}-{b}-{2}$	$={0}$	$\ldots{\left({1}\right)}$		1M
	∵ ${M}$ is a point on ${A}{B}$ .
	∴ ${a}+{2}{b}-{k}={0}$		$\ldots{\left({2}\right)}$
	Solving, we have
	${a}$	$=\dfrac{{{k}+{4}}}{{5}}$			1A
	${b}$	$=\dfrac{{{2}{k}-{2}}}{{5}}$			1A
	∴ Required coordinates	$={\left(\dfrac{{{k}+{4}}}{{5}},\dfrac{{{2}{k}-{2}}}{{5}}\right)}$			1A

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