medicine tablet: surface area and volumes

Question Sample Titled 'medicine tablet: surface area and volumes'

題目

A pharmaceutical manufacturer is designing a new shape of a tablet. As shown in the figure, the old design is a cylinder with base radius 5{5} mm\text{mm} and height 1.5{1.5} mm\text{mm}; while the new design consists of three parts. The upper and lower parts are two identical hemispheres with radius 2.5{2.5} mm\text{mm} and the middle part is a cylinder with height h{h} mm\text{mm}.

1.5{1.5} mm\text{mm}The old designThe new designh{h}

(a)If the volumes of tablets in the two designs are equal, find the value of h{h} .
(b)If the new design is adopted, find the percentage decrease of the total surface area of each tablet.
(5 marks)

題解

(a)π(5)2(1.5)\pi{\left({5}\right)}^{{2}}{\left({1.5}\right)}=2(12×43π2.53)+π(2.5)2h={2}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}\times\dfrac{{4}}{{3}}\pi{2.5}^{{3}}\right)}+\pi{\left({2.5}\right)}^{{2}}{h}1M
Solving, we get h{h}=83=\dfrac{{8}}{{3}}1A
(b)The surface area of the old design=2π(5)(1.5)+2π(5)2={2}\pi{\left({5}\right)}{\left({1.5}\right)}+{2}\pi{\left({5}\right)}^{{2}}1A
=65π={65}\pi mm2\text{mm}^{{2}}
The surface area of the new design=4π(2.5)2+2π(2.5)(83)={4}\pi{\left({2.5}\right)}^{{2}}+{2}\pi{\left({2.5}\right)}{\left(\dfrac{{8}}{{3}}\right)}
=1153π=\dfrac{{115}}{{3}}\pi mm2\text{mm}^{{2}}
\thereforeRequired % decrease=65π1153π65π×100%=\dfrac{{{65}\pi-\dfrac{{115}}{{3}}\pi}}{{{65}\pi}}\times{100}\%1M
=41.0%={41.0}\% (cor. to 3 sig. fig.)1A



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