Locus

Question Sample Titled 'Locus'

題目

Consider two fixed points A(0,6){A}{\left({0},-{6}\right)} and B(0,8){B}{\left({0},{8}\right)} on a rectangular plane.

(a)A moving point P{P} is always equidistant from the two fixed points. Denote the locus of P{P} by L{L}. Find the equation of L{L}.(2 marks)
(b)Consider another moving point Q{Q} such that QA{Q}{A} is always perpendicular to QB{Q}{B} except at A{A} or B{B}. A{A} and B{B} are two possible positions of Q{Q} .(4 marks)
(i)Find the equation of the locus of Q{Q}.
(ii)Describe the locus of Q{Q}.

題解

(a)Let (x,y){\left({x},{y}\right)} be the coordinates of P{P}.
PA{P}{A}=PB={P}{B}
(x0)2+(y(6))2\sqrt{{{\left({x}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left(-{6}\right)}\right)}^{{2}}}}=(x0)2+(y(8))2=\sqrt{{{\left({x}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left({8}\right)}\right)}^{{2}}}}1M
y{y}=1={1}
\thereforeThe equation of L{L} is y=1{y}={1} .1A
(bi)Let the coordinates of Q{Q} be (x,y){\left({x},{y}\right)} .
({(}Slope of QA)({Q}{A}{)}{(}Slope of QB){Q}{B}{)}=1=-{1}1M
(y(6)x0)(y(8)x0){\left(\dfrac{{{y}-{\left(-{6}\right)}}}{{{x}-{0}}}\right)}{\left(\dfrac{{{y}-{\left({8}\right)}}}{{{x}-{0}}}\right)}=1=-{1}1M
x2+y22y48{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{y}-{48}=0={0}
\thereforeThe equation of the locus of Q{Q} is
x2+y22y48=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{y}-{48}={0}1A
(bii)The locus of Q{Q} is a circle with centre (0,1){\left({0},{1}\right)} and radius 7{7} units.1A



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