Locus

Question Sample Titled 'Locus'

題目

Consider two fixed points ${A}{\left({0},-{6}\right)}$ and ${B}{\left({0},{8}\right)}$ on a rectangular plane.

(a)	A moving point ${P}$ is always equidistant from the two fixed points. Denote the locus of ${P}$ by ${L}$ . Find the equation of ${L}$ .		(2 marks)
(b)	Consider another moving point ${Q}$ such that ${Q}{A}$ is always perpendicular to ${Q}{B}$ except at ${A}$ or ${B}$ . ${A}$ and ${B}$ are two possible positions of ${Q}$ .		(4 marks)
	(i)	Find the equation of the locus of ${Q}$ .
	(ii)	Describe the locus of ${Q}$ .

題解

(a)	Let ${\left({x},{y}\right)}$ be the coordinates of ${P}$ .
	${P}{A}$	$={P}{B}$
	$\sqrt{{{\left({x}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left(-{6}\right)}\right)}^{{2}}}}$	$=\sqrt{{{\left({x}-{0}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{\left({8}\right)}\right)}^{{2}}}}$	1M
	${y}$	$={1}$
	$\therefore$ The equation of ${L}$ is ${y}={1}$ .		1A

(bi)	Let the coordinates of ${Q}$ be ${\left({x},{y}\right)}$ .
	${(}$ Slope of ${Q}{A}{)}{(}$ Slope of ${Q}{B}{)}$	$=-{1}$	1M
	${\left(\dfrac{{{y}-{\left(-{6}\right)}}}{{{x}-{0}}}\right)}{\left(\dfrac{{{y}-{\left({8}\right)}}}{{{x}-{0}}}\right)}$	$=-{1}$	1M
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{y}-{48}$	$={0}$
	$\therefore$ The equation of the locus of ${Q}$ is
	${x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{y}-{48}={0}$		1A
(bii)	The locus of ${Q}$ is a circle with centre ${\left({0},{1}\right)}$ and radius ${7}$ units.		1A

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