### Loan: Calculate remaining loan at specific year

Question Sample Titled 'Loan: Calculate remaining loan at specific year'

Benjamin borrows $${29000}$ from a bank at an interest rate of ${7}\%$ p.a. compounded yearly. Starting from the first year, he repays$${6000}$ at the end of every year to the bank. How many years does he need to repay all the money to the bank?

A
${7}$ years
B
${8}$ years
C
${5}$ years
D
${10}$ years

 Let ${R}{\left({n}\right)}$ be the remaining loan in the ${n}^{{{t}{h}}}$ year. Let ${r}={1.07}$ , ${P}={29000}$ and ${a}={6000}$ . ${R}{\left({1}\right)}$ $={29000}{\left({1}+{7}\%\right)}-{6000}$  $={P}{r}-{a}$ ${R}{\left({2}\right)}$ $={\left({P}{r}-{a}\right)}{r}-{a}$  $={P}{r}^{{2}}-{a}{r}-{a}$ ${R}{\left({3}\right)}$ $={\left({P}{r}^{{2}}-{a}{r}-{a}\right)}{r}-{a}$  $={P}{r}^{{3}}-{a}{r}^{{2}}-{a}{r}-{a}$ ${R}{\left({n}\right)}$ $={P}{r}^{{n}}-{a}{r}^{{{n}-{1}}}-{a}{r}^{{{n}-{2}}}-\ldots-{a}{r}-{a}$  $={P}{r}^{{n}}-{a}{\left({1}+{r}+{r}^{{2}}+\ldots+{r}^{{{n}-{1}}}\right)}$  $={P}{r}^{{n}}-{a}\cdot\dfrac{{{r}^{{n}}-{1}}}{{{r}-{1}}}$  $={P}{r}^{{n}}-\dfrac{{{a}{r}^{{n}}}}{{0.07}}+\dfrac{{a}}{{0.07}}$  $={P}{r}^{{n}}-\dfrac{{{a}{r}^{{n}}}}{{0.07}}+\dfrac{{a}}{{0.07}}$  $={r}^{{n}}{\left({P}-\dfrac{{a}}{{0.07}}\right)}+\dfrac{{a}}{{0.07}}$  Let ${R}{\left({n}\right)}$ $\le{0}:$ ${r}^{{n}}{\left({P}-\dfrac{{a}}{{0.07}}\right)}+\dfrac{{a}}{{0.07}}$ $\le{0}$ ${r}^{{n}}$ $\ge{1.5113350125944591}$ ${{\log{{r}}}^{{n}}}$ $\ge{\log{{1.5113350125944591}}}$ ${n}{\log{{r}}}$ $\ge{\log{{1.5113350125944591}}}$ ${n}$ $\ge{6.104073667519274}$

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