### In a trapezium containing two right-angled triangles, determine whether some statements containing trigonometric functions are correct

Question Sample Titled 'In a trapezium containing two right-angled triangles, determine whether some statements containing trigonometric functions are correct'

In the figure, ${A}{B}{C}{D}$ is a trapezium with $\angle{A}{B}{C}=\angle{B}{A}{D}={90}^{\circ}$ . ${E}$ and ${F}$ are points lying on ${A}{B}$ such that ${E}$ and ${F}$ divide ${A}{B}$ into three equal parts. If ${x}\ne{y}$, which of the following must be true?

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${F}$${x}$${y}$

 I. ${A}{F}{\sin{{x}}}$ $\ne{B}{E}{\sin{{y}}}$ II. ${C}{E}{\cos{{x}}}$ $\ne{D}{F}{\cos{{y}}}$ III. ${A}{D}{\tan{{x}}}$ $\ne{B}{C}{\tan{{y}}}$

A
I only
B
I, II and III
C
II only
D
None of the above

 Let ${x}$ $={A}{E}={E}{F}={F}{B}$ . ${A}{F}{\sin{{x}}}$ $={2}{x}{\sin{{x}}}$ ${B}{E}{\sin{{y}}}$ $={2}{x}{\sin{{y}}}$ ∵  ${x}$ $\ne{y}$ ${2}{x}{\sin{{x}}}$ $\ne{2}{x}{\sin{{y}}}$ I. ∴  ${A}{F}{\sin{{x}}}$ $\ne{B}{E}{\sin{{y}}}$   ${\cos{{x}}}$ $=\dfrac{{{B}{E}}}{{{C}{E}}}$ ∴  ${C}{E}{\cos{{x}}}$ $={B}{E}={2}{x}$ ${\cos{{y}}}$ $=\dfrac{{{A}{F}}}{{{D}{F}}}$ ∴  ${D}{F}{\cos{{y}}}$ $={A}{F}={2}{x}$ II. ∴  ${C}{E}{\cos{{x}}}$ $={D}{F}{\cos{{y}}}$   ${\tan{{x}}}$ $=\dfrac{{{B}{C}}}{{{B}{E}}}=\dfrac{{{B}{C}}}{{{2}{x}}}$ ${2}{x}$ $=\dfrac{{{B}{C}}}{{{\tan{{x}}}}}$ ${\tan{{y}}}$ $=\dfrac{{{A}{D}}}{{{A}{F}}}=\dfrac{{{A}{D}}}{{{2}{x}}}$ ${2}{x}$ $=\dfrac{{{A}{D}}}{{{\tan{{y}}}}}$ ∴  $\dfrac{{{B}{C}}}{{{\tan{{x}}}}}$ $=\dfrac{{{A}{D}}}{{{\tan{{y}}}}}$ III. ${A}{D}{\tan{{x}}}$ $={B}{C}{\tan{{y}}}$

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