### Geometry about a square with triangles inside

Question Sample Titled 'Geometry about a square with triangles inside'

 In the figure, ${A}{B}{C}{D}$ is a square. ${B}{C}$ is produced to ${G}$ such that $\angle{C}{D}{G}={11}^{\circ}.$ ${E}$ is a point lying on ${A}{B}$ such that ${A}{E}={C}{G}.$ If ${F}$ is a point lying on ${B}{C}$ such that $\angle{C}{D}{F}={13}^{\circ}$, then $\angle{D}{F}{E}=$

${B}$${C}$${D}$${A}$${G}$${E}$${F}$
A
${56.7}^{\circ}.$
B
${77.0}^{\circ}.$
C
${79.0}^{\circ}.$
D
${66.8}^{\circ}.$

 Let the side length of square be ${1}.$ Note that $\triangle{D}{A}{E}$ $\stackrel{\sim}{=}\triangle{D}{C}{G}$ SAS $\angle{A}{D}{E}$ $=\angle{C}{D}{G}={11}^{\circ}$ ${D}{E}$ $=\dfrac{{1}}{{{\cos{{11}}}^{\circ}}}\approx{1.0187}$ ${D}{F}$ $=\dfrac{{1}}{{{\cos{{13}}}^{\circ}}}\approx{1.0263}$ $\angle{E}{D}{F}$ $={90}^{\circ}-{11}^{\circ}-{13}^{\circ}$  $={66}^{\circ}$ Consider $\triangle{E}{D}{F}$ . By Cosine Formula, (Practice using calculator program!) ${E}{F}$ $=\sqrt{{{1.0187}^{{2}}+{1.0263}^{{2}}-{2}{\left({1.0187}\right)}{\left({1.0263}\right)}{\left({\cos{{66}}}^{\circ}\right)}}}$  $\approx{1.1138}$ Again, by Cosine Formula, $\angle{D}{F}{E}$ $={56.673}^{\circ}$

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