Geometric sequence; log; reduce to quadratic

Question Sample Titled 'Geometric sequence; log; reduce to quadratic'

題目

A fund A{A} can make a revenue of A(n){A}{\left({n}\right)} dollars in the nth{n}^{{{t}{h}}} year since the start of investment, where n{n} is a positive integer. It is given that A(n)=4prn{A}{\left({n}\right)}={4}{p}{r}^{{n}} , where p{p} and r{r}are positive constants. It is found that the revenue made by fund A{A} in the 1st{1}^{{{s}{t}}} and the 2nd{2}^{{{n}{d}}} year since the start of investment are $3520000 and $3872000 respectively.

(a)(i)Find p{p} and r{r} .
(ii)Express the total revenue made by fund A{A} in the first n{n} years since the start investment in terms of n{n} .
(5 marks)
(b)Aaron plans to invest fund A{A} and he plans to start investing in a new fund B{B} after fund A{A} investment has been started for 4{4} years. Let B(m){B}{\left({m}\right)} dollars be the revenue made by the fund B{B} in the mth{m}^{{{t}{h}}} year since the start of its investment, where m{m} is a positive integer. It is given that B(m)=pr2m{B}{\left({m}\right)}={p}{r}^{{{2}{m}}} .
(i)The fund manager claims that after Aaron has started investing fund B{B}, the yearly revenue made by fund B{B} would exceed fund A{A} with 17{17} years. Do you agree? Explain your answer.
(ii)Aaron thinks that when the total revenue made by fund A{A} and fund B{B} since the start of the investment in fund A{A} exceeds $521000000 , he should stop all the investments. In which year after the start of the investment in fund A{A} should Aaron stop all the investments?
(7 marks)

題解

(ai)4pr{4}{p}{r}=3520000={3520000}(1)\ldots{\left({1}\right)}
4pr2{4}{p}{r}^{{2}}=3872000={3872000}(2)\ldots{\left({2}\right)}
(2)÷(1):{\left({2}\right)}\div{\left({1}\right)}:
r{r}=38720003520000=\dfrac{{3872000}}{{3520000}}
=1.1={1.1}1A
p\therefore{p}=800000={800000}1A
(aii)The total revenue made by A{A} in the first n{n} years
=4pr+4pr2+4pr3++4prn={4}{p}{r}+{4}{p}{r}^{{2}}+{4}{p}{r}^{{3}}+\ldots+{4}{p}{r}^{{n}}1M
=4pr×rn1r1={4}{p}{r}\times\dfrac{{{r}^{{n}}-{1}}}{{{r}-{1}}}1M
=$35200000(rn-1)1A
(bi)B(m)A(n)\dfrac{{{B}{\left({m}\right)}}}{{{A}{\left({n}\right)}}}=pr2m4prn=\dfrac{{{p}{r}^{{{2}{m}}}}}{{{4}{p}{r}^{{n}}}}
=r2(n4)4rn=\dfrac{{{r}^{{{2}{\left({n}-{4}\right)}}}}}{{{4}{r}^{{n}}}}
=rn84=\dfrac{{{r}^{{{n}-{8}}}}}{{4}}
=rn84=\dfrac{{{r}^{{{n}-{8}}}}}{{4}}
Let B(m)A(n)\dfrac{{{B}{\left({m}\right)}}}{{{A}{\left({n}\right)}}}>1>{1} ,1M
rn84\dfrac{{{r}^{{{n}-{8}}}}}{{4}}>1>{1}
rn8{r}^{{{n}-{8}}}>4>{4}
logrn8{{\log{{r}}}^{{{n}-{8}}}}>log4>{\log{{4}}}
(n8)log1.1{\left({n}-{8}\right)}{\log{{1.1}}}>log4>{\log{{4}}}
n{n}>log4log1.1+8>\dfrac{{{\log{{4}}}}}{{{\log{{1.1}}}}}+{8}
n{n}>22.545081794683426>{22.545081794683426}1A
\thereforeThe yearly revenue made by fund B{B} would exceed A{A} in the 23rd{23}^{{{r}{d}}} year since the start of the investment in fund A{A} .1A
i.e. the 19th{19}^{{{t}{h}}} year since the start of the investment in fund B{B} .
Thus, the manager is incorrect.
(bii)Let k=35200000{k}={35200000} , x=rn{x}={r}^{{n}} .
The total revenue made by A{A} and B{B} since the start of the investment in A{A}
=k(rn1)+(pr2+pr4++pr2(n4))={k}{\left({r}^{{n}}-{1}\right)}+{\left({p}{r}^{{2}}+{p}{r}^{{4}}+\ldots+{p}{r}^{{{2}{\left({n}-{4}\right)}}}\right)}
=k(rn1)+pr2(r2(n4)1)r21={k}{\left({r}^{{n}}-{1}\right)}+\dfrac{{{p}{r}^{{2}}{\left({r}^{{{2}{\left({n}-{4}\right)}}}-{1}\right)}}}{{{r}^{{2}}-{1}}}1M
=krnk+pr2n6r211r21={k}{r}^{{n}}-{k}+\dfrac{{{p}{r}^{{{2}{n}-{6}}}}}{{{r}^{{2}}-{1}}}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}
=krnk+pr2nr6(r21)1r21={k}{r}^{{n}}-{k}+\dfrac{{{p}{r}^{{{2}{n}}}}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}
=kxk+px2r6(r21)1r21={k}{x}-{k}+\dfrac{{{p}{x}^{{2}}}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}
=(pr6(r21))x2+kxk1r21={\left(\dfrac{{p}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}\right)}{x}^{{2}}+{k}{x}-{k}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}
Solve (pr6(r21))x2+kxk1r21>521000000{\left(\dfrac{{p}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}\right)}{x}^{{2}}+{k}{x}-{k}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}>{521000000}1M
(pr6(r21))x2+kxk1r21521000000>0{\left(\dfrac{{p}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}\right)}{x}^{{2}}+{k}{x}-{k}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}-{521000000}>{0}
By substitution and the quadratic formula, we have
x>9.860891990119{x}>{9.860891990119} or x<26.230115630119{x}<-{26.230115630119} (rejected)1A
Thus,
1.1n>9.860891990119{1.1}^{{n}}>{9.860891990119}
nlog1.1>log9.860891990119{n}{\log{{1.1}}}>{\log{{9.860891990119}}}
n>24.01188031279158{n}>{24.01188031279158}
Aaron should stop all the investments in the 25th{25}^{{{t}{h}}} year after the start of the investment in fund A{A} .1A



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