Geometric sequence; log; reduce to quadratic

Question Sample Titled 'Geometric sequence; log; reduce to quadratic'

題目

A fund ${A}$ can make a revenue of ${A}{\left({n}\right)}$ dollars in the ${n}^{{{t}{h}}}$ year since the start of investment, where ${n}$ is a positive integer. It is given that ${A}{\left({n}\right)}={4}{p}{r}^{{n}}$ , where ${p}$ and ${r}$ are positive constants. It is found that the revenue made by fund ${A}$ in the ${1}^{{{s}{t}}}$ and the ${2}^{{{n}{d}}}$ year since the start of investment are $$ 3520000$ $$3520000$ and $$ 3872000$ $$3872000$ respectively.

(a)	(i)	Find ${p}$ and ${r}$ .
	(ii)	Express the total revenue made by fund ${A}$ in the first ${n}$ years since the start investment in terms of ${n}$ .
			(5 marks)

(b)	Aaron plans to invest fund ${A}$ and he plans to start investing in a new fund ${B}$ after fund ${A}$ investment has been started for ${4}$ years. Let ${B}{\left({m}\right)}$ dollars be the revenue made by the fund ${B}$ in the ${m}^{{{t}{h}}}$ year since the start of its investment, where ${m}$ is a positive integer. It is given that ${B}{\left({m}\right)}={p}{r}^{{{2}{m}}}$ .
	(i)	The fund manager claims that after Aaron has started investing fund ${B}$ , the yearly revenue made by fund ${B}$ would exceed fund ${A}$ with ${17}$ years. Do you agree? Explain your answer.
	(ii)	Aaron thinks that when the total revenue made by fund ${A}$ and fund ${B}$ since the start of the investment in fund ${A}$ exceeds $$ 521000000$ $$521000000$ , he should stop all the investments. In which year after the start of the investment in fund ${A}$ should Aaron stop all the investments?
			(7 marks)

題解

(ai)		${4}{p}{r}$	$={3520000}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
		${4}{p}{r}^{{2}}$	$={3872000}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
	${\left({2}\right)}\div{\left({1}\right)}:$
	${r}$		$=\dfrac{{3872000}}{{3520000}}$
			$={1.1}$		1A
	$\therefore{p}$		$={800000}$		1A

(aii)	The total revenue made by ${A}$ in the first ${n}$ years
			$={4}{p}{r}+{4}{p}{r}^{{2}}+{4}{p}{r}^{{3}}+\ldots+{4}{p}{r}^{{n}}$		1M
			$={4}{p}{r}\times\dfrac{{{r}^{{n}}-{1}}}{{{r}-{1}}}$		1M
			$= $ 35200000 (r^{n} - 1)$ $=$35200000(r^n-1)$		1A

(bi)	$\dfrac{{{B}{\left({m}\right)}}}{{{A}{\left({n}\right)}}}$		$=\dfrac{{{p}{r}^{{{2}{m}}}}}{{{4}{p}{r}^{{n}}}}$
			$=\dfrac{{{r}^{{{2}{\left({n}-{4}\right)}}}}}{{{4}{r}^{{n}}}}$
			$=\dfrac{{{r}^{{{n}-{8}}}}}{{4}}$
			$=\dfrac{{{r}^{{{n}-{8}}}}}{{4}}$

	Let $\dfrac{{{B}{\left({m}\right)}}}{{{A}{\left({n}\right)}}}$		$>{1}$ ,		1M
	$\dfrac{{{r}^{{{n}-{8}}}}}{{4}}$		$>{1}$
	${r}^{{{n}-{8}}}$		$>{4}$
	${{\log{{r}}}^{{{n}-{8}}}}$		$>{\log{{4}}}$
	${\left({n}-{8}\right)}{\log{{1.1}}}$		$>{\log{{4}}}$
	${n}$		$>\dfrac{{{\log{{4}}}}}{{{\log{{1.1}}}}}+{8}$
	${n}$		$>{22.545081794683426}$		1A
	$\therefore$ The yearly revenue made by fund ${B}$ would exceed ${A}$ in the ${23}^{{{r}{d}}}$ year since the start of the investment in fund ${A}$ .				1A
	i.e. the ${19}^{{{t}{h}}}$ year since the start of the investment in fund ${B}$ .
	Thus, the manager is incorrect.

(bii)	Let ${k}={35200000}$ , ${x}={r}^{{n}}$ .
	The total revenue made by ${A}$ and ${B}$ since the start of the investment in ${A}$
	$={k}{\left({r}^{{n}}-{1}\right)}+{\left({p}{r}^{{2}}+{p}{r}^{{4}}+\ldots+{p}{r}^{{{2}{\left({n}-{4}\right)}}}\right)}$
	$={k}{\left({r}^{{n}}-{1}\right)}+\dfrac{{{p}{r}^{{2}}{\left({r}^{{{2}{\left({n}-{4}\right)}}}-{1}\right)}}}{{{r}^{{2}}-{1}}}$				1M
	$={k}{r}^{{n}}-{k}+\dfrac{{{p}{r}^{{{2}{n}-{6}}}}}{{{r}^{{2}}-{1}}}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}$
	$={k}{r}^{{n}}-{k}+\dfrac{{{p}{r}^{{{2}{n}}}}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}$
	$={k}{x}-{k}+\dfrac{{{p}{x}^{{2}}}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}$
	$={\left(\dfrac{{p}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}\right)}{x}^{{2}}+{k}{x}-{k}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}$

	Solve ${\left(\dfrac{{p}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}\right)}{x}^{{2}}+{k}{x}-{k}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}>{521000000}$				1M
	${\left(\dfrac{{p}}{{{r}^{{6}}{\left({r}^{{2}}-{1}\right)}}}\right)}{x}^{{2}}+{k}{x}-{k}-\dfrac{{1}}{{{r}^{{2}}-{1}}}-{521000000}>{0}$
	By substitution and the quadratic formula, we have
	${x}>{9.860891990119}$ or ${x}<-{26.230115630119}$ (rejected)				1A
	Thus,
	${1.1}^{{n}}>{9.860891990119}$
	${n}{\log{{1.1}}}>{\log{{9.860891990119}}}$
	${n}>{24.01188031279158}$
	Aaron should stop all the investments in the ${25}^{{{t}{h}}}$ year after the start of the investment in fund ${A}$ .				1A

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