Find volume of regular tetrahedron given its height

Question Sample Titled 'Find volume of regular tetrahedron given its height'

題目

If the height of a regular tetrahedron is 7{7} cm\text{cm} , then the volume of the tetrahedron is

A
34383\dfrac{{343}}{{8}}\sqrt{{3}} cm3\text{cm}^{{3}} .
B
7{7} cm3\text{cm}^{{3}} .
C
34386\dfrac{{343}}{{8}}\sqrt{{6}} cm3\text{cm}^{{3}} .
D
102983\dfrac{{1029}}{{8}}\sqrt{{3}} cm3\text{cm}^{{3}} .
題解

a{a}A{A}B{B}C{C}D{D}M{M}H{H}

Let the length of each side of the tetrahedron be a{a}, i.e. AB=BC=a{A}{B}={B}{C}={a}
Let M{M}be a point on BC{B}{C} such that AMBC{A}{M}\bot{B}{C} .
∴  BM{B}{M}=MC=a2={M}{C}=\dfrac{{a}}{{2}}prop. of isos. △
AM{A}{M}=a2(a2)2=32a=\sqrt{{{a}^{{2}}-{\left(\dfrac{{a}}{{2}}\right)}^{{2}}}}=\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}{a}Pyth. theorem
Similarly, DM=32a{D}{M}=\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}{a}
Let H{H} be the foot of perpendicular from A{A} to plane BCD{B}{C}{D} .
AH{A}{H}=7={7}given
H{H} is the in-centre of BCD\triangle{B}{C}{D} .
Consider BMH\triangle{B}{M}{H} ,
HBM\angle{H}{B}{M}=602=30=\dfrac{{60}^{\circ}}{{2}}={30}^{\circ}
tan30{{\tan{{30}}}^{\circ}}=MHa2=\dfrac{{{M}{H}}}{{\dfrac{{a}}{{2}}}}
MH{M}{H}=13(a2)=a23=\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}{\left(\dfrac{{a}}{{2}}\right)}=\dfrac{{a}}{{{2}\sqrt{{3}}}}tan30=13{{\tan{{30}}}^{\circ}=}\dfrac{{1}}{\sqrt{{{3}}}}
Consider AMH\triangle{A}{M}{H} ,
72{7}^{{2}}=(AM2)(MH)2={\left({A}{M}^{{2}}\right)}-{\left({M}{H}\right)}^{{2}}Pyth. theorem
72{7}^{{2}}=(32a)2(a23)2={\left(\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}{a}\right)}^{{2}}-{\left(\dfrac{{a}}{{{2}\sqrt{{3}}}}\right)}^{{2}}
49{49}=23a2=\dfrac{{2}}{{3}}\cdot{a}^{{2}}
a{a}=762=\dfrac{{{7}\sqrt{{{6}}}}}{{2}}
The volume of the tetrahedron
=13×7×[12(a)(a)(sin60)]=\dfrac{{1}}{{3}}\times{7}\times{\left[\dfrac{{1}}{{2}}{\left({a}\right)}{\left({a}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}\right]}Volume of tetrahedron=13×h×base area=\dfrac{{1}}{{3}}\times{h}\times\text{base area}; For base area, Heron's Formula can also be used
=13×7×[12(762)(762)(32)]=\dfrac{{1}}{{3}}\times{7}\times{\left[\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\dfrac{{{7}\sqrt{{{6}}}}}{{2}}\right)}{\left(\dfrac{{{7}\sqrt{{{6}}}}}{{2}}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{{3}}}{{2}}\right)}\right]}
=34383=\dfrac{{343}}{{8}}\sqrt{{3}}

其他方法

For any regular tetrahedron with side length a{a} and height h{h}, the relationship is listed below.
a{a}=h32={h}\cdot\sqrt{{\dfrac{{3}}{{2}}}}
V{V}=a362=38h3=\dfrac{{a}^{{3}}}{{{6}\sqrt{{2}}}}=\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{8}}{h}^{{3}}



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