Find the volume of a pyramid formed by folding isometric pentagonal paper card

Question Sample Titled 'Find the volume of a pyramid formed by folding isometric pentagonal paper card'

題目

In Figure (a), ABCDB{A}{B}{C}{D}{B}' is a pentagonal paper card. It is given that AB=AB=38{A}{B}={A}{B}'={38} cm\text{cm} , BC=BD=28{B}{C}={B}'{D}={28} cm\text{cm} and ABC=ABD=72\angle{A}{B}{C}={A}{B}'{D}={72}^{\circ} .

A{A}B{B}C{C}D{D}B{B}'Figure (a)Figure (b)A{A}B{B}C{C}D{D}

(a)Suppose that 95BCD145{95}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{145}^{\circ} .
(i)Find the distance between A{A} and C{C} .
(ii)Find ACB\angle{A}{C}{B} .
(iii)Describe how the area of the paper card varies when BCD\angle{B}{C}{D} increases from 95{95}^{\circ} to 145{145}^{\circ} .
(7 marks)
(b)Suppose that BCD=132\angle{B}{C}{D}={132}^{\circ} .
The paper card in Figure (b) is folded along AC{A}{C} and AD{A}{D} such that AB{A}{B} and AB{A}{B}' join together to form a pyramid ABCD{A}{B}{C}{D} as shown in Figure (b). Find the volume of the pyramid ABCD{A}{B}{C}{D} .
(6 marks)

題解

(a)(i)By consine formula,
AC2{A}{C}^{{2}}=AB2+BC22(AB)(BC)(cosABC)={A}{B}^{{2}}+{B}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{C}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}\right)}1M
AC2{A}{C}^{{2}}=382+2822(38)(28)(cosABC)={38}^{{2}}+{28}^{{2}}-{2}{\left({38}\right)}{\left({28}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}^{\circ}\right)}
AC{A}{C}=39.62842207={39.62842207} cm\text{cm}
AC{A}{C}39.6\approx{39.6} cm\text{cm}1Ar.t. 39.6{39.6} cm\text{cm}
Thus, the distance between A{A} and C{C} is 39.6{39.6} cm\text{cm} .
(a)(ii)By sine formula,
sinACBAB\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{A}{B}}}=sinABCAC=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{B}{C}}}{{{A}{C}}}1M
sinACB38\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{38}}}=sin7239.62842207=\dfrac{{{\sin{{72}}}^{\circ}}}{{{39.62842207}}}
ACB\angle{A}{C}{B}65.77978612\approx{65.77978612} or ACB114.2202139\angle{A}{C}{B}\approx{114.2202139}^{\circ} (rejected)
ACB\angle{A}{C}{B}65.8\approx{65.8}^{\circ}1Ar.t. 65.8{65.8}^{\circ}
(a)(iii)CAD\angle{C}{A}{D}
=1802(BCDACB)={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-\angle{A}{C}{B}\right)}base ∠s, isos. △
=1802(BCD65.77978612)={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-{65.77978612}^{\circ}\right)}
∵  95BCD145{95}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{145}^{\circ} ,
∴  21.55957224CAD121.5595722{21.55957224}^{\circ}\le\angle{C}{A}{D}\le{121.5595722}^{\circ}
The area of the paper card
=2(12(38)(28)sin72)+12AC2sinCAD={2}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}{\left({38}\right)}{\left({28}\right)}{\sin{{72}}}^{\circ}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}1M
=1064sin72+12AC2sinCAD={1064}{{\sin{{72}}}^{\circ}+}\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}
Note that 1064sin72{1064}{{\sin{{72}}}^{\circ}} and AC{A}{C} are constants and hence the area of the paper card only varies as sinCAD{\sin}\angle{C}{A}{D} .1M
Also note that the area of the paper card is the greatest when CAD\angle{C}{A}{D}=90={90}^{\circ} , as sin90{{\sin{{90}}}^{\circ}} is the greatest.
When CAD=90\angle{C}{A}{D}={90}^{\circ} , BCD=65.77978612+180902=110.7797861\angle{B}{C}{D}={65.77978612}^{\circ}+\dfrac{{{180}^{\circ}-{90}^{\circ}}}{{2}}={110.7797861}^{\circ} .r.t. 111{111}^{\circ}
Thus, when BCD\angle{B}{C}{D} increases from 95{95}^{\circ} to 110.7797861{110.7797861}^{\circ} , the area of the paper card increases.1Af.t.; need not to specify the actual area
When BCD\angle{B}{C}{D} increases from 110.7797861{110.7797861}^{\circ} to 145{145}^{\circ} , the area of the paper card decreases.
(b)Denote M{M} be the mid-point of CD{C}{D} .
ACM\angle{A}{C}{M}
=13265.77978612={132}^{\circ}-{65.77978612}^{\circ}
=66.22021388={66.22021388}^{\circ}
Consider ACM\triangle{A}{C}{M}
sinACM{\sin}\angle{A}{C}{M}=AMAC=\dfrac{{{A}{M}}}{{{A}{C}}}1M
sin66.22021388{{\sin{{66.22021388}}}^{\circ}}=AM39.62842207=\dfrac{{{A}{M}}}{{39.62842207}}
AM{A}{M}=36.26404755={36.26404755} cm\text{cm}
CM{C}{M}=AC2AM2=\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}
CM{C}{M}=39.62842207236.264047552=\sqrt{{{39.62842207}^{{2}}-{36.26404755}^{{2}}}}
=15.97907041={15.97907041} cm\text{cm}
Consider BCD\triangle{B}{C}{D}
BM{B}{M}=BC2CM2=\sqrt{{{B}{C}^{{2}}-{C}{M}^{{2}}}}
BM{B}{M}=28215.979070412=\sqrt{{{28}^{{2}}-{15.97907041}^{{2}}}}
BM{B}{M}=22.99280994={22.99280994} cm\text{cm}
Consider ABM\triangle{A}{B}{M}, by cosine formula,
cosAMB{\cos}\angle{A}{M}{B}=(AM)2+(BM)2(AB)22(AM)(BM)=\dfrac{{{\left({A}{M}\right)}^{{2}}+{\left({B}{M}\right)}^{{2}}-{\left({A}{B}\right)}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{M}\right)}{\left({B}{M}\right)}}}1M
cosAMB{\cos}\angle{A}{M}{B}36.264047552+22.9928099423822(36.26404755)(22.99280994)\approx\dfrac{{{36.26404755}^{{2}}+{22.99280994}^{{2}}-{38}^{{2}}}}{{{2}{\left({36.26404755}\right)}{\left({22.99280994}\right)}}}
AMB\angle{A}{M}{B}76.13042869\approx{76.13042869}^{\circ}
The height of the pyramid ABCD{A}{B}{C}{D}
=BMsinAMB={B}{M}{\sin}\angle{A}{M}{B}1Maccept BAsinBAM{B}{A}{\sin}\angle{B}{A}{M}
=22.99280994sin76.13042869={22.99280994}{{\sin{{76.13042869}}}^{\circ}}
=22.32242985={22.32242985} cm\text{cm}
The area of ACD\triangle{A}{C}{D}
=12(CD)(AM)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({C}{D}\right)}{\left({A}{M}\right)}1Maccept 12AC2sinCAD\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}
=12(2CM)(36.26404755)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}{C}{M}\right)}{\left({36.26404755}\right)}
=12(2AC2AM2)(36.26404755)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}\right)}{\left({36.26404755}\right)}
=12(239.62842207236.264047552)(36.26404755)=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{39.62842207}^{{2}}-{36.26404755}^{{2}}}}\right)}{\left({36.26404755}\right)}
=579.4657692={579.4657692} cm2\text{cm}^{{2}}
The volume of the pyramid ABCD{A}{B}{C}{D}
=13(=\dfrac{{1}}{{3}}{(}the area of ACD)(\triangle{A}{C}{D}{)}{(}the height of the pyramid){)}1M
=13(579.4657692)(22.32242985)=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({579.4657692}\right)}{\left({22.32242985}\right)}
=4311.694661={4311.694661} cm2\text{cm}^{{2}}
4310\approx{4310} cm3\text{cm}^{{3}}1Ar.t. 4310{4310} cm3\text{cm}^{{3}}

A{A}B{B}C{C}D{D}B{B}'Figure (a)38{38}28{28}Figure (b)A{A}B{B}C{C}D{D}M{M}

Caution: In (b), attempts to find the height of the pyramid by mistakenly considering the height as 12BB\dfrac{{1}}{{2}}{B}{B}' in Figure (a) should receive zero marks.



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