Find the volume of a pyramid formed by folding isometric pentagonal paper card

Question Sample Titled 'Find the volume of a pyramid formed by folding isometric pentagonal paper card'

題目

In Figure (a), ${A}{B}{C}{D}{B}'$ is a pentagonal paper card. It is given that ${A}{B}={A}{B}'={38}$ $\text{cm}$ , ${B}{C}={B}'{D}={28}$ $\text{cm}$ and $\angle{A}{B}{C}={A}{B}'{D}={72}^{\circ}$ .

{A}

{B}

{C}

{D}

{B}'

Figure (a)

Figure (b)

{A}

{B}

{C}

{D}

(a)	Suppose that ${95}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{145}^{\circ}$ .
	(i)	Find the distance between ${A}$ and ${C}$ .
	(ii)	Find $\angle{A}{C}{B}$ .
	(iii)	Describe how the area of the paper card varies when $\angle{B}{C}{D}$ increases from ${95}^{\circ}$ to ${145}^{\circ}$ .
			(7 marks)
(b)	Suppose that $\angle{B}{C}{D}={132}^{\circ}$ .
	The paper card in Figure (b) is folded along ${A}{C}$ and ${A}{D}$ such that ${A}{B}$ and ${A}{B}'$ join together to form a pyramid ${A}{B}{C}{D}$ as shown in Figure (b). Find the volume of the pyramid ${A}{B}{C}{D}$ .
			(6 marks)

題解

(a)(i)	By consine formula,
	${A}{C}^{{2}}$	$={A}{B}^{{2}}+{B}{C}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{C}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}\right)}$		1M
	${A}{C}^{{2}}$	$={38}^{{2}}+{28}^{{2}}-{2}{\left({38}\right)}{\left({28}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{C}^{\circ}\right)}$
	${A}{C}$	$={39.62842207}$ $\text{cm}$
	${A}{C}$	$\approx{39.6}$ $\text{cm}$		1A	r.t. ${39.6}$ $\text{cm}$
	Thus, the distance between ${A}$ and ${C}$ is ${39.6}$ $\text{cm}$ .
(a)(ii)	By sine formula,
	$\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{A}{B}}}$	$=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{B}{C}}}{{{A}{C}}}$		1M
	$\dfrac{{{\sin}\angle{A}{C}{B}}}{{{38}}}$	$=\dfrac{{{\sin{{72}}}^{\circ}}}{{{39.62842207}}}$
	$\angle{A}{C}{B}$	$\approx{65.77978612}$ or $\angle{A}{C}{B}\approx{114.2202139}^{\circ}$ (rejected)
	$\angle{A}{C}{B}$	$\approx{65.8}^{\circ}$		1A	r.t. ${65.8}^{\circ}$

(a)(iii)	$\angle{C}{A}{D}$
	$={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-\angle{A}{C}{B}\right)}$		base ∠s, isos. △
	$={180}^{\circ}-{2}{\left(\angle{B}{C}{D}-{65.77978612}^{\circ}\right)}$
	∵ ${95}^{\circ}\le\angle{B}{C}{D}\le{145}^{\circ}$ ,
	∴ ${21.55957224}^{\circ}\le\angle{C}{A}{D}\le{121.5595722}^{\circ}$

	The area of the paper card
	$={2}{\left(\dfrac{{1}}{{2}}{\left({38}\right)}{\left({28}\right)}{\sin{{72}}}^{\circ}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}$			1M
	$={1064}{{\sin{{72}}}^{\circ}+}\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}$
	Note that ${1064}{{\sin{{72}}}^{\circ}}$ and ${A}{C}$ are constants and hence the area of the paper card only varies as ${\sin}\angle{C}{A}{D}$ .			1M
	Also note that the area of the paper card is the greatest when $\angle{C}{A}{D}$	$={90}^{\circ}$ , as ${{\sin{{90}}}^{\circ}}$ is the greatest.
	When $\angle{C}{A}{D}={90}^{\circ}$ , $\angle{B}{C}{D}={65.77978612}^{\circ}+\dfrac{{{180}^{\circ}-{90}^{\circ}}}{{2}}={110.7797861}^{\circ}$ .				r.t. ${111}^{\circ}$
	Thus, when $\angle{B}{C}{D}$ increases from ${95}^{\circ}$ to ${110.7797861}^{\circ}$ , the area of the paper card increases.			1A	f.t.; need not to specify the actual area
	When $\angle{B}{C}{D}$ increases from ${110.7797861}^{\circ}$ to ${145}^{\circ}$ , the area of the paper card decreases.			1A	f.t.; need not to specify the actual area


(b)	Denote ${M}$ be the mid-point of ${C}{D}$ .
	$\angle{A}{C}{M}$
	$={132}^{\circ}-{65.77978612}^{\circ}$
	$={66.22021388}^{\circ}$
	Consider $\triangle{A}{C}{M}$ ，
	${\sin}\angle{A}{C}{M}$	$=\dfrac{{{A}{M}}}{{{A}{C}}}$		1M
	${{\sin{{66.22021388}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{{A}{M}}}{{39.62842207}}$
	${A}{M}$	$={36.26404755}$ $\text{cm}$
	${C}{M}$	$=\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}$
	${C}{M}$	$=\sqrt{{{39.62842207}^{{2}}-{36.26404755}^{{2}}}}$
		$={15.97907041}$ $\text{cm}$
	Consider $\triangle{B}{C}{D}$ ，
	${B}{M}$	$=\sqrt{{{B}{C}^{{2}}-{C}{M}^{{2}}}}$
	${B}{M}$	$=\sqrt{{{28}^{{2}}-{15.97907041}^{{2}}}}$
	${B}{M}$	$={22.99280994}$ $\text{cm}$
	Consider $\triangle{A}{B}{M}$ , by cosine formula,
	${\cos}\angle{A}{M}{B}$	$=\dfrac{{{\left({A}{M}\right)}^{{2}}+{\left({B}{M}\right)}^{{2}}-{\left({A}{B}\right)}^{{2}}}}{{{2}{\left({A}{M}\right)}{\left({B}{M}\right)}}}$		1M
	${\cos}\angle{A}{M}{B}$	$\approx\dfrac{{{36.26404755}^{{2}}+{22.99280994}^{{2}}-{38}^{{2}}}}{{{2}{\left({36.26404755}\right)}{\left({22.99280994}\right)}}}$
	$\angle{A}{M}{B}$	$\approx{76.13042869}^{\circ}$

	The height of the pyramid ${A}{B}{C}{D}$
	$={B}{M}{\sin}\angle{A}{M}{B}$			1M	accept ${B}{A}{\sin}\angle{B}{A}{M}$
	$={22.99280994}{{\sin{{76.13042869}}}^{\circ}}$
	$={22.32242985}$ $\text{cm}$

	The area of $\triangle{A}{C}{D}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({C}{D}\right)}{\left({A}{M}\right)}$			1M	accept $\dfrac{{1}}{{2}}{A}{C}^{{2}}{\sin}\angle{C}{A}{D}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}{C}{M}\right)}{\left({36.26404755}\right)}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{A}{C}^{{2}}-{A}{M}^{{2}}}}\right)}{\left({36.26404755}\right)}$
	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({2}\sqrt{{{39.62842207}^{{2}}-{36.26404755}^{{2}}}}\right)}{\left({36.26404755}\right)}$
	$={579.4657692}$ $\text{cm}^{{2}}$

	The volume of the pyramid ${A}{B}{C}{D}$
	$=\dfrac{{1}}{{3}}{(}$ the area of $\triangle{A}{C}{D}{)}{(}$ the height of the pyramid ${)}$			1M
	$=\dfrac{{1}}{{3}}{\left({579.4657692}\right)}{\left({22.32242985}\right)}$
	$={4311.694661}$ $\text{cm}^{{2}}$
	$\approx{4310}$ $\text{cm}^{{3}}$			1A	r.t. ${4310}$ $\text{cm}^{{3}}$

{A}

{B}

{C}

{D}

{B}'

Figure (a)

{38}

{28}

Figure (b)

{A}

{B}

{C}

{D}

{M}

Caution: In (b), attempts to find the height of the pyramid by mistakenly considering the height as

\dfrac{{1}}{{2}}{B}{B}'

in Figure (a) should receive zero marks.

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