Find the side and angle in a slant tetrahedron and determine the angle between a side and a plane

Question Sample Titled 'Find the side and angle in a slant tetrahedron and determine the angle between a side and a plane'

題目

The figure below shows a geometric model ABCD{A}{B}{C}{D} in the form of tetrahedron. It is given that BAD=80\angle{B}{A}{D}={80}^{\circ} , CBD=41\angle{C}{B}{D}={41}^{\circ} , AB=148{A}{B}={148} cm\text{cm} , AC=48{A}{C}={48} cm\text{cm} , BC=140{B}{C}={140} cm\text{cm} and BD=283{B}{D}={283} cm\text{cm} .

A{A}B{B}C{C}D{D}

(a)Find ABD\angle{A}{B}{D} and CD{C}{D} .(4 marks)
(b)A craftsman claims that the angle between AB{A}{B} and the face BCD{B}{C}{D} is ABC\angle{A}{B}{C} . Do you agree? Explain your answer.(2 marks)

題解

(a)By sine formula,
sinBADBD\dfrac{{{\sin}\angle{B}{A}{D}}}{{{B}{D}}}=sinADBAB=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{{A}{B}}}1M
sin80283\dfrac{{\sin{{80}}}^{\circ}}{{283}}=sinADB148=\dfrac{{{\sin}\angle{A}{D}{B}}}{{148}}
ADB\angle{A}{D}{B}30.99900143\approx{30.99900143}^{\circ}
ABD\angle{A}{B}{D}1808030.99900143\approx{180}^{\circ}-{80}^{\circ}-{30.99900143}^{\circ}
ABD\angle{A}{B}{D}69.00099857\approx{69.00099857}^{\circ}
ABD\angle{A}{B}{D}69.0\approx{69.0}^{\circ}1A
By cosine formula,
CD2{C}{D}^{{2}}=BC2+BD22(BC)(BD)(cosCBD)={B}{C}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({B}{C}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{C}{B}{D}\right)}1M
CD{C}{D}=1402+28322(140)(283)(cos41)=\sqrt{{{140}^{{2}}+{283}^{{2}}-{2}{\left({140}\right)}{\left({283}\right)}{\left({\cos{{41}}}^{\circ}\right)}}}
CD{C}{D}199.7143281\approx{199.7143281} cm\text{cm}
CD{C}{D}200\approx{200} cm\text{cm}1A
(b)By cosine formula,
AD2{A}{D}^{{2}}=AB2+BD22(AB)(BD)(cosABD)={A}{B}^{{2}}+{B}{D}^{{2}}-{2}{\left({A}{B}\right)}{\left({B}{D}\right)}{\left({\cos}\angle{A}{B}{D}\right)}
AD{A}{D}1482+28322(148)(283)(cos69.00099857)\approx\sqrt{{{148}^{{2}}+{283}^{{2}}-{2}{\left({148}\right)}{\left({283}\right)}{\left({\cos{{69.00099857}}}^{\circ}\right)}}}
AD{A}{D}268.2808166\approx{268.2808166} cm\text{cm}
Consider ACD\triangle{A}{C}{D} ,
AC2+CD2{A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}
=482+199.71432812={48}^{{2}}+{199.7143281}^{{2}}
42189.81285\approx{42189.81285}
AD2{A}{D}^{{2}}
268.28081662\approx{268.2808166}^{{2}}
71974.59658\approx{71974.59658}
∵  AC2+CD2AD2{A}{C}^{{2}}+{C}{D}^{{2}}\ne{A}{D}^{{2}}
∴  ACD\angle{A}{C}{D} is not a right angle.1Mor any correct proof showing the absence of orthogonality of AC{A}{C} and CD{C}{D}
∵  ACD\angle{A}{C}{D} is not a right angle, AC{A}{C} is not perpendicular to plane BCD{B}{C}{D} .
Thus, the claim is disagreed.1Af.t.
The figure below shows the possible situtation in which X{X} and C{C} not coincident but both lying on place BCD{B}{C}{D} .
Notice that in the figure, AXBX{A}{X}\bot{B}{X} and AXXD{A}{X}\bot{X}{D} , then the angle between AB{A}{B} and plane BCD{B}{C}{D} is ABX\angle{A}{B}{X} .

A{A}B{B}C{C}D{D}X{X}


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