Find the ratio of trapeziums in cascaded squares

Question Sample Titled 'Find the ratio of trapeziums in cascaded squares'

題目

In the figure, ${A}{B}{C}{D},{C}{D}{E}{F},{E}{F}{G}{H},{G}{H}{I}{J},{I}{J}{K}{L},{K}{L}{M}{N},{M}{N}{O}{W},$ and ${O}{W}{X}{R}$ are squares. ${A}{G}$ cuts ${C}{D}$ and ${E}{F}$ at ${P}$ and ${Q}$ respectively. Find the ratio of the area of quadrilateral ${D}{E}{Q}{P}$ to the area of quadrilateral ${A}{B}{C}{P}$ .

{H}

{G}

{I}

{J}

{L}

{K}

{M}

{N}

{W}

{O}

{A}

{D}

{E}

{X}

{B}

{C}

{F}

{R}

{P}

{Q}

{1}:{5}

{2}:{15}

{8}:{15}

{64}:{225}

題解

Let the length of each square be ${a}$ , i.e. ${A}{B}={B}{C}={R}{X}={a}$ .
Consider $\triangle{A}{D}{P}$ and $\triangle{A}{X}{R}$ , notice that $\triangle{A}{D}{P}$ ~ $\triangle{A}{X}{R}$ .
$\dfrac{{{D}{P}}}{{{X}{Y}}}$	$=\dfrac{{{A}{D}}}{{{A}{X}}}$	corr. sides, ∼△s
$\dfrac{{{D}{P}}}{{a}}$	$=\dfrac{{a}}{{{8}{a}}}$
${D}{P}$	$=\dfrac{{1}}{{8}}{a}$
Consider $\triangle{A}{E}{Q}$ and $\triangle{A}{X}{R}$ , notice that $\triangle{A}{E}{Q}$ ~ $\triangle{A}{X}{R}$ .
$\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}$	$=\dfrac{{{A}{E}}}{{{A}{X}}}$	corr. sides, ∼△s
$\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}$	$=\dfrac{{{2}{a}}}{{{8}{a}}}$
${E}{Q}$	$=\dfrac{{1}}{{4}}{a}$

${P}{C}={a}-\dfrac{{1}}{{8}}{a}=\dfrac{{7}}{{8}}{a}$

The area of ${D}{E}{Q}{P}$
$={\left({E}{Q}+{D}{P}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
$={\left(\dfrac{{1}}{{4}}{a}+\dfrac{{1}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
The area of ${A}{B}{C}{P}$
$={\left({A}{B}+{P}{C}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
$={\left({a}+\dfrac{{7}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$
∴ The required ratio
$=\dfrac{{{\left(\dfrac{{1}}{{4}}{a}+\dfrac{{1}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}{{{\left({a}+\dfrac{{7}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}$
$=\dfrac{{\dfrac{{1}}{{4}}+\dfrac{{1}}{{8}}}}{{{1}+\dfrac{{7}}{{8}}}}$
$=\dfrac{{1}}{{5}}$

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