Find the ratio of trapeziums in cascaded squares

Question Sample Titled 'Find the ratio of trapeziums in cascaded squares'

In the figure, ${A}{B}{C}{D},{C}{D}{E}{F},{E}{F}{G}{H},{G}{H}{I}{J},{I}{J}{K}{L},{K}{L}{M}{N},{M}{N}{O}{W},$ and ${O}{W}{X}{R}$ are squares. ${A}{G}$ cuts ${C}{D}$ and ${E}{F}$ at ${P}$ and ${Q}$ respectively. Find the ratio of the area of quadrilateral ${D}{E}{Q}{P}$ to the area of quadrilateral ${A}{B}{C}{P}$.

${H}$${G}$${I}$${J}$${L}$${K}$${M}$${N}$${W}$${O}$${A}$${D}$${E}$${X}$${B}$${C}$${F}$${R}$${P}$${Q}$
A
${1}:{5}$
B
${2}:{15}$
C
${8}:{15}$
D
${64}:{225}$

 Let the length of each square be ${a}$ , i.e. ${A}{B}={B}{C}={R}{X}={a}$ . Consider $\triangle{A}{D}{P}$ and $\triangle{A}{X}{R}$ , notice that $\triangle{A}{D}{P}$ ~ $\triangle{A}{X}{R}$ . $\dfrac{{{D}{P}}}{{{X}{Y}}}$ $=\dfrac{{{A}{D}}}{{{A}{X}}}$ corr. sides, ∼△s $\dfrac{{{D}{P}}}{{a}}$ $=\dfrac{{a}}{{{8}{a}}}$ ${D}{P}$ $=\dfrac{{1}}{{8}}{a}$ Consider $\triangle{A}{E}{Q}$ and $\triangle{A}{X}{R}$ , notice that $\triangle{A}{E}{Q}$ ~ $\triangle{A}{X}{R}$ . $\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}$ $=\dfrac{{{A}{E}}}{{{A}{X}}}$ corr. sides, ∼△s $\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}$ $=\dfrac{{{2}{a}}}{{{8}{a}}}$ ${E}{Q}$ $=\dfrac{{1}}{{4}}{a}$  ${P}{C}={a}-\dfrac{{1}}{{8}}{a}=\dfrac{{7}}{{8}}{a}$  The area of ${D}{E}{Q}{P}$ $={\left({E}{Q}+{D}{P}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$ $={\left(\dfrac{{1}}{{4}}{a}+\dfrac{{1}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$ The area of ${A}{B}{C}{P}$ $={\left({A}{B}+{P}{C}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$ $={\left({a}+\dfrac{{7}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}$ ∴   The required ratio $=\dfrac{{{\left(\dfrac{{1}}{{4}}{a}+\dfrac{{1}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}{{{\left({a}+\dfrac{{7}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}$ $=\dfrac{{\dfrac{{1}}{{4}}+\dfrac{{1}}{{8}}}}{{{1}+\dfrac{{7}}{{8}}}}$ $=\dfrac{{1}}{{5}}$

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