Find the ratio of trapeziums in cascaded squares

Question Sample Titled 'Find the ratio of trapeziums in cascaded squares'

題目

In the figure, ABCD,CDEF,EFGH,GHIJ,IJKL,KLMN,MNOW,{A}{B}{C}{D},{C}{D}{E}{F},{E}{F}{G}{H},{G}{H}{I}{J},{I}{J}{K}{L},{K}{L}{M}{N},{M}{N}{O}{W}, and OWXR{O}{W}{X}{R} are squares. AG{A}{G} cuts CD{C}{D} and EF{E}{F} at P{P} and Q{Q} respectively. Find the ratio of the area of quadrilateral DEQP{D}{E}{Q}{P} to the area of quadrilateral ABCP{A}{B}{C}{P}.

H{H}G{G}I{I}J{J}L{L}K{K}M{M}N{N}W{W}O{O}A{A}D{D}E{E}X{X}B{B}C{C}F{F}R{R}P{P}Q{Q}
A
1:5{1}:{5}
B
2:15{2}:{15}
C
8:15{8}:{15}
D
64:225{64}:{225}
題解

Let the length of each square be a{a} , i.e. AB=BC=RX=a{A}{B}={B}{C}={R}{X}={a} .
Consider ADP\triangle{A}{D}{P} and AXR\triangle{A}{X}{R} , notice that ADP\triangle{A}{D}{P} ~ AXR\triangle{A}{X}{R} .
DPXY\dfrac{{{D}{P}}}{{{X}{Y}}}=ADAX=\dfrac{{{A}{D}}}{{{A}{X}}}corr. sides, ∼△s
DPa\dfrac{{{D}{P}}}{{a}}=a8a=\dfrac{{a}}{{{8}{a}}}
DP{D}{P}=18a=\dfrac{{1}}{{8}}{a}
Consider AEQ\triangle{A}{E}{Q} and AXR\triangle{A}{X}{R} , notice that AEQ\triangle{A}{E}{Q} ~ AXR\triangle{A}{X}{R} .
EQ2a\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}=AEAX=\dfrac{{{A}{E}}}{{{A}{X}}}corr. sides, ∼△s
EQ2a\dfrac{{{E}{Q}}}{{{2}{a}}}=2a8a=\dfrac{{{2}{a}}}{{{8}{a}}}
EQ{E}{Q}=14a=\dfrac{{1}}{{4}}{a}
PC=a18a=78a{P}{C}={a}-\dfrac{{1}}{{8}}{a}=\dfrac{{7}}{{8}}{a}
The area of DEQP{D}{E}{Q}{P}
=(EQ+DP)a2={\left({E}{Q}+{D}{P}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
=(14a+18a)a2={\left(\dfrac{{1}}{{4}}{a}+\dfrac{{1}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
The area of ABCP{A}{B}{C}{P}
=(AB+PC)a2={\left({A}{B}+{P}{C}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
=(a+78a)a2={\left({a}+\dfrac{{7}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}
∴   The required ratio
=(14a+18a)a2(a+78a)a2=\dfrac{{{\left(\dfrac{{1}}{{4}}{a}+\dfrac{{1}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}{{{\left({a}+\dfrac{{7}}{{8}}{a}\right)}\cdot\dfrac{{a}}{{2}}}}
=14+181+78=\dfrac{{\dfrac{{1}}{{4}}+\dfrac{{1}}{{8}}}}{{{1}+\dfrac{{7}}{{8}}}}
=15=\dfrac{{1}}{{5}}



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