### Find the mean, median and mode of a set of integers with some unknown

Question Sample Titled 'Find the mean, median and mode of a set of integers with some unknown'

Consider the following integers:

${\left\lbrace{1},{11},{9},{w},{9},{1},{9},{2},{2}\right\rbrace}$

Let $\overline{{x}}$ , ${m}$ and ${d}$ be the mean, the median and the mode of the above integers respectively. If ${3}\le{w}\le{9}$ , which of the following must be true?

 I. ${m}$ $>\overline{{x}}$ II. ${d}$ $>\overline{{x}}$ III. ${m}$ $\le{d}$

A
II and III only
B
None of the above
C
I and III only
D
I, II and III

 $\overline{{x}}$ $=\dfrac{{{1}+{11}+{9}+{w}+{9}+{1}+{9}+{2}+{2}}}{{9}}$  $=\dfrac{{{44}+{w}}}{{9}}$ ${m}$ $={w}$ ${d}$ $={9}$  ${3}$ $\le{w}\le{9}$ ${3}+{44}$ $\le{w}+{44}\le{9}+{44}$ $\dfrac{{{3}+{44}}}{{9}}$ $\le\dfrac{{{44}+{w}}}{{9}}\le\dfrac{{{9}+{44}}}{{9}}$ ${5.22}$ $\le\overline{{x}}\le{5.89}$ No enough information to show ${w}$ $>\overline{{x}}$  Maximum value of $\overline{{x}}$ $=\dfrac{{{44}+{9}}}{{9}}$  $={5.89}$  $<{d}$  ${m}$ $={w}$ ${3}$ $\le{w}\le{9}$ ${d}$ $={9}$ $\therefore{m}$ $\le{d}$

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