Find the greatest value of number of terms such that the sum of an increasing arithmetic sequence does not exceed a certain number

Question Sample Titled 'Find the greatest value of number of terms such that the sum of an increasing arithmetic sequence does not exceed a certain number'

題目

For any positive integer n{n} , let A(n)=12n+8{A}{\left({n}\right)}={12}{n}+{8} and B(n)=1012n+8{B}{\left({n}\right)}={10}^{{{12}{n}+{8}}} .

(a)Express A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)} in terms of n{n} .(2 marks)
(b)Find the greatest value of n{n} such that log[B(1)B(2)B(3)B(n)]14496{\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}\le{14496} .(3 marks)

題解

(a)A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}
=20+32+44++(12n+8)={20}+{32}+{44}+\ldots+{\left({12}{n}+{8}\right)}
=n2[20+(12n+8)]=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{20}+{\left({12}{n}+{8}\right)}\right]}S(n)=n2(a+l){S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({a}+{l}\right)}1M
=n2(12n+28)=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({12}{n}+{28}\right)}
=6n2+14n={6}{n}^{{2}}+{14}{n}1Aor equivalent
(b)log[B(1)B(2)B(3)B(n)]{\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}14496\le{14496}
logB(1)+logB(2)+logB(3)++logB(n){\log{{B}}}{\left({1}\right)}+{\log{{B}}}{\left({2}\right)}+{\log{{B}}}{\left({3}\right)}+\ldots+{\log{{B}}}{\left({n}\right)}14496\le{14496}1Mcan be absorbed
Note that logB(k)=A(k){\log{{B}}}{\left({k}\right)}={A}{\left({k}\right)} for all positive integers k{k} .
A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}14496\le{14496}
6n2+14n{6}{n}^{{2}}+{14}{n}14496\le{14496}1M
6n2+14n14496{6}{n}^{{2}}+{14}{n}-{14496}0\le{0}
(n48)(3n+151){\left({n}-{48}\right)}{\left({3}{n}+{151}\right)}0\le{0}
∴  1513n48-\dfrac{{151}}{{3}}\le{n}\le{48}accept 0n48{0}\le{n}\le{48}
Thus, the greatest value of n{n} is 48{48} .1A

其他方法

A(n)=12n+8{A}{\left({n}\right)}={12}{n}+{8}
(a)First term
=12(n)+8={12}{\left({n}\right)}+{8}
=20={20}
Common difference
=A(n+1)A(n)={A}{\left({n}+{1}\right)}-{A}{\left({n}\right)}
=[12(n+1)+8](12n+8)={\left[{12}{\left({n}+{1}\right)}+{8}\right]}-{\left({12}{n}+{8}\right)}
=12={12}
A(1)+A(2)+A(3)++A(n){A}{\left({1}\right)}+{A}{\left({2}\right)}+{A}{\left({3}\right)}+\ldots+{A}{\left({n}\right)}
=n2[2(20)+(n1)12]=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({20}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{12}\right]}S(n)=n2[2a+(n1)d]{S}{\left({n}\right)}=\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{a}+{\left({n}-{1}\right)}{d}\right]}1M
=n2(12n+28)=\dfrac{{n}}{{2}}{\left({12}{n}+{28}\right)}
=6n2+14n={6}{n}^{{2}}+{14}{n}1Aor equivalent
(b)log[B(1)B(2)B(3)B(n)]{\log{{\left[{B}{\left({1}\right)}{B}{\left({2}\right)}{B}{\left({3}\right)}\ldots{B}{\left({n}\right)}\right]}}}14496\le{14496}
log(102010321044{\log{{\left({10}^{{20}}{10}^{{32}}{10}^{{44}}\right.}}} \ldots 1012n+8){10}^{{{12}{n}+{8}}}{)}14496\le{14496}
log(1020+32+44++(12n+8)){\log{{\left({10}^{{{20}+{32}+{44}+\ldots+{\left({12}{n}+{8}\right)}}}\right)}}}14496\le{14496}1Mcan be absorbed
log(106n2+14n){\log{{\left({10}^{{{6}{n}^{{2}}+{14}{n}}}\right)}}}14496\le{14496}
6n2+14n{6}{n}^{{2}}+{14}{n}14496\le{14496}1M
(n48)(3n+151){\left({n}-{48}\right)}{\left({3}{n}+{151}\right)}0\le{0}
∴  1513n48-\dfrac{{151}}{{3}}\le{n}\le{48}accept 0n48{0}\le{n}\le{48}
Thus, the greatest value of n{n} is 48{48} .1A



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《傲慢與偏見》