Find the equation of a circle given two points by considering the perpendicular bisector of two points.

Question Sample Titled 'Find the equation of a circle given two points by considering the perpendicular bisector of two points.'

題目

The coodinates of the points P{P} and Q{Q} are (2,2){\left(-{2},{2}\right)} and (7,1){\left({7},-{1}\right)} respectively.

(a)Let L{L} be the perpendicular bisector of PQ{P}{Q} .
(i)Find the equation of L{L} .
(ii)Suppose that G{G} is a point lying on L{L}. Denote the x{x}-coordinate of G{G} be h{h} . Let C{C} be the circle which is centred at G{G} and passes through P{P} and Q{Q} .
Prove that the equation of C{C} is x2+y22hx+(6h+14)y+(8h36)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}+{\left(-{6}{h}+{14}\right)}{y}+{\left({8}{h}-{36}\right)}={0} .
(6 marks)
(b)The coordinates of point R{R} are (25,1){\left(-{25},-{1}\right)} . Using (a)(ii), or otherwise, find the diameter of the circle which passes through P{P} , Q{Q} and R{R} .(3 marks)

題解

(a)(i)The mid-point of PQ{P}{Q}
=(52,12)={\left(\dfrac{{5}}{{2}},\dfrac{{1}}{{2}}\right)}
The slope of PQ{P}{Q}
=127+2=\dfrac{{-{1}-{2}}}{{{7}+{2}}}1M
=13=-\dfrac{{1}}{{3}}
The slope of L{L}
=1÷(13)=-{1}\div{\left(-\dfrac{{1}}{{3}}\right)}
=3={3}
The equation of L{L} is
y12=3(x52){y}-\dfrac{{1}}{{2}}={3}{\left({x}-\dfrac{{5}}{{2}}\right)}1M
y=3x7{y}={3}{x}-{7}1Aor equivalent
(a)(ii)Let k{k} be the y{y}-coordinate of G{G} .
By (a)(i), we have k=3h7{k}={3}{h}-{7} .1M
So, the coordinates of G{G} is (h,3h7){\left({h},{3}{h}-{7}\right)} .
The equation of C{C} is
(xh)2+[y(3h7)]2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}+{\left[{y}-{\left({3}{h}-{7}\right)}\right]}^{{2}}=(2h)2+[2(3h7)]2={\left(-{2}-{h}\right)}^{{2}}+{\left[{2}-{\left({3}{h}-{7}\right)}\right]}^{{2}}1M
(xh)2(2h)2{\left({x}-{h}\right)}^{{2}}-{\left(-{2}-{h}\right)}^{{2}}=[2(3h7)]2[y(3h7)]2={\left[{2}-{\left({3}{h}-{7}\right)}\right]}^{{2}}-{\left[{y}-{\left({3}{h}-{7}\right)}\right]}^{{2}}
(x2h2)(x+2){\left({x}-{2}{h}-{2}\right)}{\left({x}+{2}\right)}=[2+y2(3h7)](y+2)={\left[{2}+{y}-{2}{\left({3}{h}-{7}\right)}\right]}{\left(-{y}+{2}\right)}a2+b2=(a+b)(ab){a}^{{2}}+{b}^{{2}}={\left({a}+{b}\right)}{\left({a}-{b}\right)}
x22hx2x+2x4h4{x}^{{2}}-{2}{h}{x}-{2}{x}+{2}{x}-{4}{h}-{4}=2yy2+2(3h7)y+4+2y4(3h7)=-{2}{y}-{y}^{{2}}+{2}{\left({3}{h}-{7}\right)}{y}+{4}+{2}{y}-{4}{\left({3}{h}-{7}\right)}
x22hx4h4{x}^{{2}}-{2}{h}{x}-{4}{h}-{4}=y2+2(3h7)y+44(3h7)=-{y}^{{2}}+{2}{\left({3}{h}-{7}\right)}{y}+{4}-{4}{\left({3}{h}-{7}\right)}
x2+y22hx2(3h7)y4h44+4(3h7)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}-{2}{\left({3}{h}-{7}\right)}{y}-{4}{h}-{4}-{4}+{4}{\left({3}{h}-{7}\right)}={0}
x2+y22hx+(6h+14)y+(8h36)=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}-{2}{h}{x}+{\left(-{6}{h}+{14}\right)}{y}+{\left({8}{h}-{36}\right)}={0}1A
(b)Denote C{C} be the circle which passes through P{P} , Q{Q} and R{R} .
Note that the centre of C{C} lies on the perpendicular bisector of PQ{P}{Q} .
Let h{h} be the x{x}-coordinate of the centre of C{C} .
By (a)(ii), after subsituting (25,1){\left(-{25},-{1}\right)} , we have
(25)2+(1)22(h)(25)+(6h+14)(1)+(8h36)=0{\left(-{25}\right)}^{{2}}+{\left(-{1}\right)}^{{2}}-{2}{\left({h}\right)}{\left(-{25}\right)}+{\left(-{6}{h}+{14}\right)}{\left(-{1}\right)}+{\left({8}{h}-{36}\right)}={0}1Mfor using (a)(ii)
Solving, we have h=9{h}=-{9} .
Hence, the equation of C{C} is x2+y2+18x+68y108{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{18}{x}+{68}{y}-{108}=0={0} .
The required diameter
=2(182)2+(682)2(108)={2}\sqrt{{{\left(\dfrac{{18}}{{2}}\right)}^{{2}}+{\left(\dfrac{{68}}{{2}}\right)}^{{2}}-{\left(-{108}\right)}}}1M
=21345={2}\sqrt{{{1345}}}1A

其他方法

(a)(i)The equation of L{L} is
(x+2)2+(y2)2{\left({x}+{2}\right)}^{{2}}+{\left({y}-{2}\right)}^{{2}}=(x7)2+(y+1)2={\left({x}-{7}\right)}^{{2}}+{\left({y}+{1}\right)}^{{2}}2M1M+1M
x2+4x+4+y24y+4{x}^{{2}}+{4}{x}+{4}+{y}^{{2}}-{4}{y}+{4}=x214x+49+y2+2y+1={x}^{{2}}-{14}{x}+{49}+{y}^{{2}}+{2}{y}+{1}
18x6y42{18}{x}-{6}{y}-{42}=0={0}
y{y}=3x7={3}{x}-{7}1Aor equivalent



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