Find the coordinates of the mid point of two intersection points of a straight line and a circle

Question Sample Titled 'Find the coordinates of the mid point of two intersection points of a straight line and a circle'

題目

If the striaght line 10x+9y+7=0-{10}{x}+{9}{y}+{7}={0} and the circle x2+y233549x11549y2367=0{x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-\dfrac{{335}}{{49}}{x}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}={0} intersect at A(x1,y1){A}{\left({x}_{{1}},{y}_{{1}}\right)} and B(x2,y2){B}{\left({x}_{{2}},{y}_{{2}}\right)}, then the y{y}-coordinate of the mid-point of AB={A}{B}=

A
2{2}
B
52\dfrac{{5}}{{2}}
C
1{1}
D
54\dfrac{{5}}{{4}}
題解

x{x}=910y+710=\dfrac{{9}}{{10}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}(1)\ldots{\left({1}\right)}
x2+y233549x11549y2367{x}^{{{2}}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{335}}{{49}}{x}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}=0={0}(2)\ldots{\left({2}\right)}
Substitute (1){\left({1}\right)} into (2):{\left({2}\right)}:
(910y+710)2+y233549(910y+710)11549y2367{\left(\dfrac{{9}}{{10}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}\right)}^{{{2}}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{335}}{{49}}{\left(\dfrac{{9}}{{10}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}\right)}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}=0={0}
81100y2+6350y+49100+y260398y671411549y2367\dfrac{{81}}{{100}}{y}^{{2}}+\dfrac{{63}}{{50}}{y}+\dfrac{{49}}{{100}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{603}}{{98}}{y}-\dfrac{{67}}{{14}}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}=0={0}
181100y218125y3801100\dfrac{{181}}{{100}}{y}^{{2}}-\dfrac{{181}}{{25}}{y}-\dfrac{{3801}}{{100}}=0={0}
(y7)(y+3){\left({y}-{7}\right)}{\left({y}+{3}\right)}=0={0}
y{y}=7={7} or y=3{y}=-{3}
∴   The y{y}-coordinates of A{A} and B{B} are 7{7} and 3-{3} respectively.
The y{y}-coordinate of the mid-point of AB
=732=\dfrac{{{7}-{3}}}{{2}}
=2={2}

解題捷徑

Note that the line joining centre to mid-point of chord is perpendicular to chord.
Centre of circle =(335492,115492)=(33598,11598)={\left(\dfrac{{-\dfrac{{335}}{{49}}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-\dfrac{{115}}{{49}}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(\dfrac{{335}}{{98}},\dfrac{{115}}{{98}}\right)}
Denote L{L} be the straight line which passes through the mid-point of AB{A}{B} and the centre of the circle.
Slope of AB=109{A}{B}=\dfrac{{10}}{{9}}
∵  ABL{A}{B}\bot{L} , slope of L=1109=910{L}=\dfrac{{-{1}}}{{\dfrac{{10}}{{9}}}}=-\dfrac{{9}}{{10}}
The equation of L:{L}:
y11598=910(x33598){y}-\dfrac{{115}}{{98}}=-\dfrac{{9}}{{10}}{\left({x}-\dfrac{{335}}{{98}}\right)}Point slope form
L:{L}:y{y}=910x+174=-\dfrac{{9}}{{10}}{x}+\dfrac{{17}}{{4}}(1)\ldots{\left({1}\right)}
AB:{A}{B}:10x+9y+7-{10}{x}+{9}{y}+{7}=0={0}(2)\ldots{\left({2}\right)}
Substitute (1){\left({1}\right)} into (2):{\left({2}\right)}:
10x+9(910x+174)+7-{10}{x}+{9}{\left(-\dfrac{{9}}{{10}}{x}+\dfrac{{17}}{{4}}\right)}+{7}=0={0}
10x8110x+1534+7-{10}{x}-\dfrac{{81}}{{10}}{x}+\dfrac{{153}}{{4}}+{7}=0={0}
18110x+1814-\dfrac{{181}}{{10}}{x}+\dfrac{{181}}{{4}}=0={0}
x{x}=52=\dfrac{{5}}{{2}}
Substitute x{x}=52=\dfrac{{5}}{{2}} into (1):{\left({1}\right)}:
y{y}=910(52)+174=-\dfrac{{9}}{{10}}{\left(\dfrac{{5}}{{2}}\right)}+\dfrac{{17}}{{4}}
=2={2}
∴   The y{y}-coordinate of the mid-point of AB{A}{B} is 2.{2}.



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