Find the coordinates of the mid point of two intersection points of a straight line and a circle

Question Sample Titled 'Find the coordinates of the mid point of two intersection points of a straight line and a circle'

題目

If the striaght line $-{10}{x}+{9}{y}+{7}={0}$ and the circle ${x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-\dfrac{{335}}{{49}}{x}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}={0}$ intersect at ${A}{\left({x}_{{1}},{y}_{{1}}\right)}$ and ${B}{\left({x}_{{2}},{y}_{{2}}\right)}$ , then the ${y}$ -coordinate of the mid-point of ${A}{B}=$

{2}

\dfrac{{5}}{{2}}

{1}

\dfrac{{5}}{{4}}

題解

${x}$	$=\dfrac{{9}}{{10}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
${x}^{{{2}}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{335}}{{49}}{x}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}$	$={0}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
Substitute ${\left({1}\right)}$ into ${\left({2}\right)}:$
${\left(\dfrac{{9}}{{10}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}\right)}^{{{2}}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{335}}{{49}}{\left(\dfrac{{9}}{{10}}{y}+\dfrac{{7}}{{10}}\right)}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}$	$={0}$
$\dfrac{{81}}{{100}}{y}^{{2}}+\dfrac{{63}}{{50}}{y}+\dfrac{{49}}{{100}}+{y}^{{2}}-\dfrac{{603}}{{98}}{y}-\dfrac{{67}}{{14}}-\dfrac{{115}}{{49}}{y}-\dfrac{{236}}{{7}}$	$={0}$
$\dfrac{{181}}{{100}}{y}^{{2}}-\dfrac{{181}}{{25}}{y}-\dfrac{{3801}}{{100}}$	$={0}$
${\left({y}-{7}\right)}{\left({y}+{3}\right)}$	$={0}$
${y}$	$={7}$ or ${y}=-{3}$
∴ The ${y}$ -coordinates of ${A}$ and ${B}$ are ${7}$ and $-{3}$ respectively.
The ${y}$ -coordinate of the mid-point of AB
$=\dfrac{{{7}-{3}}}{{2}}$
$={2}$

解題捷徑

	Note that the line joining centre to mid-point of chord is perpendicular to chord.
	Centre of circle $={\left(\dfrac{{-\dfrac{{335}}{{49}}}}{{-{{2}}}},\dfrac{{-\dfrac{{115}}{{49}}}}{{-{{2}}}}\right)}={\left(\dfrac{{335}}{{98}},\dfrac{{115}}{{98}}\right)}$
	Denote ${L}$ be the straight line which passes through the mid-point of ${A}{B}$ and the centre of the circle.
	Slope of ${A}{B}=\dfrac{{10}}{{9}}$
	∵ ${A}{B}\bot{L}$ , slope of ${L}=\dfrac{{-{1}}}{{\dfrac{{10}}{{9}}}}=-\dfrac{{9}}{{10}}$
	The equation of ${L}:$
	${y}-\dfrac{{115}}{{98}}=-\dfrac{{9}}{{10}}{\left({x}-\dfrac{{335}}{{98}}\right)}$			Point slope form
${L}:$	${y}$	$=-\dfrac{{9}}{{10}}{x}+\dfrac{{17}}{{4}}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
${A}{B}:$	$-{10}{x}+{9}{y}+{7}$	$={0}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
	Substitute ${\left({1}\right)}$ into ${\left({2}\right)}:$
	$-{10}{x}+{9}{\left(-\dfrac{{9}}{{10}}{x}+\dfrac{{17}}{{4}}\right)}+{7}$	$={0}$
	$-{10}{x}-\dfrac{{81}}{{10}}{x}+\dfrac{{153}}{{4}}+{7}$	$={0}$
	$-\dfrac{{181}}{{10}}{x}+\dfrac{{181}}{{4}}$	$={0}$
	${x}$	$=\dfrac{{5}}{{2}}$
	Substitute ${x}$	$=\dfrac{{5}}{{2}}$ into ${\left({1}\right)}:$
	${y}$	$=-\dfrac{{9}}{{10}}{\left(\dfrac{{5}}{{2}}\right)}+\dfrac{{17}}{{4}}$
		$={2}$
	∴ The ${y}$ -coordinate of the mid-point of ${A}{B}$ is ${2}.$

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