Find the area of a sector with known lengths of inner segments

Question Sample Titled 'Find the area of a sector with known lengths of inner segments'

題目

In the figure, ${G}$ is the center of the sector ${G}{P}{Q}{R}{S}$ . ${P}{S}$ and ${G}{R}$ are perpendicular to each other and intersect at the point ${T}$ , ${U}$ is a point lying on ${P}{S}$ such that ${Q}{U}$ is perpendicular to ${P}{S}$ . If ${P}{U}={9}\text{cm}$ , ${S}{U}={39}\text{cm}$ and ${G}{T}={18}\text{cm}$ , then the area of the sector ${G}{Q}{R}$ is

{P}

{Q}

{R}

{S}

{T}

{U}

{G}

{75}\pi\ \text{ cm}^{{2}}

{48}\pi\ \text{ cm}^{{2}}

{96}\pi\ \text{ cm}^{{2}}

{150}\pi\ \text{ cm}^{{2}}

題解

${P}{S}$	$={P}{U}+{S}{U}$
	$={9}+{39}$
	$={48}\text{cm}$

Note that ${G}{P}{T}\stackrel{\sim}{=}{G}{S}{T}$		RHS
Thus, ${S}{T}={P}{T}=\dfrac{{{P}{S}}}{{2}}={24}\text{cm}$
${T}{U}$	$={P}{T}-{P}{U}$
	$={24}-{9}$
	$={15}\text{cm}$

In $\triangle{S}{T}{G}$ ,
${G}{S}^{{2}}={G}{T}^{{2}}+{S}{T}^{{2}}$		Pyth. theorem
${G}{S}$	$=\sqrt{{{18}^{{2}}+{24}^{{2}}}}$
	$={30}\text{cm}$

${G}{Q}$	$={G}{S}$	radii
${G}{Q}$	$={30}\text{cm}$

Let ${M}$ be a point on ${R}{T}$ such that ${M}{Q}//{T}{U}$ and ${M}{Q}={T}{U}$ . See below figure.

{P}

{Q}

{R}

{S}

{T}

{U}

{G}

{M}

	In $\triangle{G}{Q}{M}$ ,
	${\sin}\angle{Q}{G}{R}$		$=\dfrac{{{Q}{M}}}{{{G}{Q}}}$
			$=\dfrac{{15}}{{30}}$
	$\angle{Q}{G}{R}$		$={30}^{\circ}$

	Thus, required area		$=\pi{G}{Q}^{{2}}\times\dfrac{{{30}^{\circ}}}{{{360}^{\circ}}}$
			$={75}\pi\ \text{ cm}^{{2}}$

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