### Find the area of a sector with known lengths of inner segments

Question Sample Titled 'Find the area of a sector with known lengths of inner segments'

In the figure, ${G}$ is the center of the sector ${G}{P}{Q}{R}{S}$. ${P}{S}$ and ${G}{R}$ are perpendicular to each other and intersect at the point ${T}$ , ${U}$ is a point lying on ${P}{S}$ such that ${Q}{U}$ is perpendicular to ${P}{S}$ . If ${P}{U}={9}\text{cm}$ , ${S}{U}={39}\text{cm}$ and ${G}{T}={18}\text{cm}$ , then the area of the sector ${G}{Q}{R}$ is

${P}$${Q}$${R}$${S}$${T}$${U}$${G}$
A
${75}\pi\ \text{ cm}^{{2}}$
B
${48}\pi\ \text{ cm}^{{2}}$
C
${96}\pi\ \text{ cm}^{{2}}$
D
${150}\pi\ \text{ cm}^{{2}}$

 ${P}{S}$ $={P}{U}+{S}{U}$  $={9}+{39}$  $={48}\text{cm}$  Note that ${G}{P}{T}\stackrel{\sim}{=}{G}{S}{T}$ RHS Thus, ${S}{T}={P}{T}=\dfrac{{{P}{S}}}{{2}}={24}\text{cm}$ ${T}{U}$ $={P}{T}-{P}{U}$  $={24}-{9}$  $={15}\text{cm}$  In $\triangle{S}{T}{G}$, ${G}{S}^{{2}}={G}{T}^{{2}}+{S}{T}^{{2}}$ Pyth. theorem ${G}{S}$ $=\sqrt{{{18}^{{2}}+{24}^{{2}}}}$  $={30}\text{cm}$  ${G}{Q}$ $={G}{S}$ radii ${G}{Q}$ $={30}\text{cm}$  Let ${M}$ be a point on ${R}{T}$ such that ${M}{Q}//{T}{U}$ and ${M}{Q}={T}{U}$. See below figure.

${P}$${Q}$${R}$${S}$${T}$${U}$${G}$${M}$

 In $\triangle{G}{Q}{M}$, ${\sin}\angle{Q}{G}{R}$ $=\dfrac{{{Q}{M}}}{{{G}{Q}}}$  $=\dfrac{{15}}{{30}}$ $\angle{Q}{G}{R}$ $={30}^{\circ}$  Thus, required area  $=\pi{G}{Q}^{{2}}\times\dfrac{{{30}^{\circ}}}{{{360}^{\circ}}}$  $={75}\pi\ \text{ cm}^{{2}}$

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