### Find the angle between a line segment and a plane in a rectangular block

Question Sample Titled 'Find the angle between a line segment and a plane in a rectangular block'

In the figure, ${A}{B}{C}{D}{E}{F}{G}{H}$ is a rectangular block. Let ${X}$ be a point lying on ${D}{E}$ such that ${D}{X}={9}\text{cm}$ and ${E}{X}={6}\text{cm}$ . Denote the angle between ${B}{X}$ and the plane ${A}{B}{G}{F}$ by ${x}$ . Find ${\cos{{x}}}$ .

${12}\text{cm}$${8}\text{cm}$${A}$${B}$${C}$${E}$${F}$${H}$${X}$${G}$${D}$
A
$\dfrac{{15}}{{17}}$
B
$\dfrac{{4}}{{5}}$
C
$\dfrac{{8}}{{17}}$
D
$\dfrac{{8}}{{15}}$

 Let ${B}{Y}$ be the projection of ${B}{X}$ onto the plane ${A}{B}{G}{X}$ such that  ${A}{Y}$ $={D}{X}={9}\text{cm}$ and ${X}{Y}={B}{C}={8}\text{cm}$ , as shown in below figure.

${12}\text{cm}$${8}\text{cm}$${9}\text{cm}$${8}\text{cm}$${A}$${B}$${C}$${E}$${F}$${H}$${X}$${G}$${D}$${Y}$${x}$

 In $\triangle{A}{B}{Y}$ , ${B}{Y}^{{2}}$ $={A}{B}^{{2}}+{A}{Y}^{{2}}$ Pyth. theorem ${B}{Y}$ $={15}\text{cm}$  In $\triangle{B}{X}{Y}$ , ${B}{X}^{{2}}$ $={B}{Y}^{{2}}+{X}{Y}^{{2}}$ Pyth. theorem ${B}{X}$ $={17}\text{cm}$  ∴   ${\cos{{x}}}$ $=\dfrac{{{B}{Y}}}{{{B}{X}}}$  $=\dfrac{{15}}{{17}}$

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