Find the angle between a line segment and a plane in a rectangular block

Question Sample Titled 'Find the angle between a line segment and a plane in a rectangular block'

題目

In the figure, ABCDEFGH{A}{B}{C}{D}{E}{F}{G}{H} is a rectangular block. Let X{X} be a point lying on DE{D}{E} such that DX=9cm{D}{X}={9}\text{cm} and EX=6cm{E}{X}={6}\text{cm} . Denote the angle between BX{B}{X} and the plane ABGF{A}{B}{G}{F} by x{x} . Find cosx{\cos{{x}}} .

12cm{12}\text{cm}8cm{8}\text{cm}A{A}B{B}C{C}E{E}F{F}H{H}X{X}G{G}D{D}
A
1517\dfrac{{15}}{{17}}
B
45\dfrac{{4}}{{5}}
C
817\dfrac{{8}}{{17}}
D
815\dfrac{{8}}{{15}}
題解

Let BY{B}{Y} be the projection of BX{B}{X} onto the plane ABGX{A}{B}{G}{X} such that
AY{A}{Y}=DX=9cm={D}{X}={9}\text{cm} and XY=BC=8cm{X}{Y}={B}{C}={8}\text{cm}
, as shown in below figure.

12cm{12}\text{cm}8cm{8}\text{cm}9cm{9}\text{cm}8cm{8}\text{cm}A{A}B{B}C{C}E{E}F{F}H{H}X{X}G{G}D{D}Y{Y}x{x}

In ABY\triangle{A}{B}{Y} ,
BY2{B}{Y}^{{2}}=AB2+AY2={A}{B}^{{2}}+{A}{Y}^{{2}}Pyth. theorem
BY{B}{Y}=15cm={15}\text{cm}
In BXY\triangle{B}{X}{Y} ,
BX2{B}{X}^{{2}}=BY2+XY2={B}{Y}^{{2}}+{X}{Y}^{{2}}Pyth. theorem
BX{B}{X}=17cm={17}\text{cm}
∴   cosx{\cos{{x}}}=BYBX=\dfrac{{{B}{Y}}}{{{B}{X}}}
=1517=\dfrac{{15}}{{17}}



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