### Find sin theta inside a cuboid using pyth. theorem and cosine formula

Question Sample Titled 'Find sin theta inside a cuboid using pyth. theorem and cosine formula'

In the figure, ${A}{B}{C}{D}{E}{F}{G}{H}$ is a rectangular block. ${A}{C}$ and ${B}{D}$ intersect at ${P}$. ${Q}$ is a point lying on ${C}{H}$ such at ${C}{Q}={15}$ cm and ${Q}{H}={105}$ cm. Find ${\sin}\angle{P}{F}{Q}$ .

${A}$${B}$${C}$${D}$${P}$${Q}$${F}$${G}$${E}$${H}$${80}$cm${60}$cm${105}$cm${15}$cm
A
$\dfrac{{135}}{{377}}$
B
$\dfrac{{352}}{{377}}$
C
$\dfrac{{137}}{{{29}\sqrt{{{109}}}}}$
D
$\dfrac{{14}}{{{13}\sqrt{{{109}}}}}$

 Notice that $\angle{P}{F}{Q}$ is inside $\triangle{P}{F}{Q}$ . There are no right angles in the triangle and none of the angles are known. To find $\angle{P}{F}{Q}$ , we should find out the length of ${P}{F}$ , ${F}{Q}$ and ${P}{Q}$, then apply cosine formula.  Consider $\triangle{A}{B}{C}$ , ${A}{C}$ $=\sqrt{{{60}^{{2}}+{80}^{{2}}}}={100}$ $\text{cm}$ ${A}{P}$ $={P}{C}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({100}\right)}={50}$ $\text{cm}$ diags. bisect each other Consider $\triangle{P}{Q}{C}$ , ${P}{Q}$ $=\sqrt{{{15}^{{2}}+{50}^{{2}}}}={5}\sqrt{{{109}}}$ $\text{cm}$ Consider $\triangle{F}{A}{P}$ , ${F}{P}$ $=\sqrt{{{120}^{{2}}+{50}^{{2}}}}={130}$ $\text{cm}$ Consider $\triangle{F}{H}{Q}$ , ${F}{Q}$ $=\sqrt{{{100}^{{2}}+{105}^{{2}}}}={145}$ $\text{cm}$  Consider $\triangle{P}{F}{Q}$ , ${\cos}\angle{P}{F}{Q}$ $=\dfrac{{{130}^{{2}}+{145}^{{2}}-{\left({5}\sqrt{{{109}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}\cdot{130}\cdot{145}}}$ ${\cos}\angle{C}=\dfrac{{{a}^{{2}}+{b}^{{2}}-{c}^{{2}}}}{{{2}{a}{b}}}$ ${\cos}\angle{P}{F}{Q}$ $=\dfrac{{352}}{{377}}$ ∴  ${\sin}\angle{P}{F}{Q}=\dfrac{{135}}{{377}}$

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