Find shaded irregular area in a circle by subtracting triangle from sector

Question Sample Titled 'Find shaded irregular area in a circle by subtracting triangle from sector'

題目

In the figure, O{O} is the centre of the circle. C{C} and D{D} are points lying on the circle. OBC{O}{B}{C} and BAD{B}{A}{D} are straight lines. If OC=36{O}{C}={36} cm\text{cm} and OA=AB=18{O}{A}={A}{B}={18} cm\text{cm}, find the area of the shaded region BCD{B}{C}{D} correct to the nearest cm2\text{cm}^{{2}} .

O{O}A{A}C{C}D{D}B{B}
A
745{745} cm2\text{cm}^{{2}}
B
864{864} cm2\text{cm}^{{2}}
C
236{236} cm2\text{cm}^{{2}}
D
907{907} cm2\text{cm}^{{2}}
題解

O{O}A{A}C{C}D{D}B{B}α\alphaβ\beta18{18}18{18}36{36}

Let DOA\angle{D}{O}{A} and AOB\angle{A}{O}{B} be α\alpha and β\beta respectively.
OD{O}{D}=OC=36={O}{C}={36} cm\text{cm}radii
Consider DOA\triangle{D}{O}{A} ,
cosα{\cos{\alpha}}=1836=\dfrac{{18}}{{36}}
α\alpha=60={60}^{\circ}
Consider OAB\triangle{O}{A}{B} ,
OA{O}{A}=OB={O}{B}given
β\beta=180902=45=\dfrac{{{180}^{\circ}-{90}^{\circ}}}{{2}}={45}^{\circ}∠ sum of △
∴   The area of the shaded region
=area of sector=\text{area of sector} ODCarea of{O}{D}{C}-\text{area of} DOAarea of\triangle{D}{O}{A}-\text{area of} AOB\triangle{A}{O}{B}
=(60+45360)π(36)212(36)(18)(sin60)12(18)(18)={\left(\dfrac{{{60}^{\circ}+{45}^{\circ}}}{{360}^{\circ}}\right)}\pi{\left({36}\right)}^{{2}}-\dfrac{{1}}{{2}}{\left({36}\right)}{\left({18}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}-\dfrac{{1}}{{2}}{\left({18}\right)}{\left({18}\right)}
=745={745} cm2\text{cm}^{{2}}(cor. to the nearest cm2\text{cm}^{{2}} )

其他方法

The area of the shaded region
=area of sector=\text{area of sector} ODCarea of{O}{D}{C}-\text{area of} DOB\triangle{D}{O}{B}
=(60+45360)π(36)212(36)(182+182)(sin(60+45))={\left(\dfrac{{{60}^{\circ}+{45}^{\circ}}}{{360}^{\circ}}\right)}\pi{\left({36}\right)}^{{2}}-\dfrac{{1}}{{2}}{\left({36}\right)}{\left(\sqrt{{{18}^{{2}}+{18}^{{2}}}}\right)}{\left({\sin{{\left({60}^{\circ}+{45}^{\circ}\right)}}}\right)}OB=182+182{O}{B}=\sqrt{{{18}^{{2}}+{18}^{{2}}}}
=745={745} cm2\text{cm}^{{2}}(cor. to the nearest cm2\text{cm}^{{2}} )



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