Find ranges of k such that circle and straight line intersects

Question Sample Titled 'Find ranges of k such that circle and straight line intersects'

題目

Find the range of values of k{k} such that the circle x2+y2+20x+14y+131=0{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{20}{x}+{14}{y}+{131}={0} and the straight line 3x3y+k=0{3}{x}-{3}{y}+{k}={0} intersect.

A
9k27-{9}\le{k}\le{27}
B
9<k<27-{9}\lt{k}\lt{27}
C
k27{k}\le-{27} or k9{k}\ge{9}
D
k<27{k}\lt-{27} or k>9{k}\gt{9}
題解

x2+y2+20x+14y+131{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{20}{x}+{14}{y}+{131}=0={0}
3x3y+k{3}{x}-{3}{y}+{k}=0={0}
x2+y2+20x+14y+131{x}^{{2}}+{y}^{{2}}+{20}{x}+{14}{y}+{131}=0={0}(1)\ldots{\left({1}\right)}
y{y}=x+k3={x}+\dfrac{{k}}{{3}}(2)\ldots{\left({2}\right)}
Sub. (2){\left({2}\right)} into (1){\left({1}\right)} :
x2+(x+k3)2+20x+14(x+k3)+131{x}^{{2}}+{\left({x}+\dfrac{{k}}{{3}}\right)}^{{2}}+{20}{x}+{14}{\left({x}+\dfrac{{k}}{{3}}\right)}+{131}=0={0}
x2+(x2+23kx+19k2)+20x+(14x+143k)+131{x}^{{2}}+{\left({x}^{{2}}+\dfrac{{2}}{{3}}{k}{x}+\dfrac{{1}}{{9}}{k}^{{2}}\right)}+{20}{x}+{\left({14}{x}+\dfrac{{14}}{{3}}{k}\right)}+{131}=0={0}
2x2+(23k+34)x+(19k2+143k+131){2}{x}^{{2}}+{\left(\dfrac{{2}}{{3}}{k}+{34}\right)}{x}+{\left(\dfrac{{1}}{{9}}{k}^{{2}}+\dfrac{{14}}{{3}}{k}+{131}\right)}=0={0}()\ldots{\left(\ast\right)}
∵  (1){\left({1}\right)} and (2){\left({2}\right)} intersect, (){\left(\ast\right)} has real roots.
∴  (23k+34)24(2)(19k2+143k+131){\left(\dfrac{{2}}{{3}}{k}+{34}\right)}^{{2}}-{4}{\left({2}\right)}{\left(\dfrac{{1}}{{9}}{k}^{{2}}+\dfrac{{14}}{{3}}{k}+{131}\right)}0\ge{0}b24ac0{b}^{{2}}-{4}{a}{c}\ge{0}
49k2+1363k+1156+(89k21123k1048)\dfrac{{4}}{{9}}{k}^{{2}}+\dfrac{{136}}{{3}}{k}+{1156}+{\left(-\dfrac{{8}}{{9}}{k}^{{2}}-\dfrac{{112}}{{3}}{k}-{1048}\right)}0\ge{0}
49k2+8k+108-\dfrac{{4}}{{9}}{k}^{{2}}+{8}{k}+{108}0\ge{0}
Solving, we have 9k27-{9}\le{k}\le{27} .



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