### Find range of a variable given the number of intersection of a straight line and a circle

Question Sample Titled 'Find range of a variable given the number of intersection of a straight line and a circle'

Find the range of values of ${k}$ such that the circle ${x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{y}-{43}={0}$ and the straight line ${x}-{y}+{k}={0}$ intersect at two distinct points.

A
$-{15}<{k}<{9}$
B
$-{9}<{k}<{15}$
C
${k}<-{15}$ or ${k}>{9}$
D
${k}<-{9}$ or ${k}>{15}$

 ${x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{y}-{43}$ $={0}$ $\ldots{\left({1}\right)}$ ${y}$ $={x}+{k}$ $\ldots{\left({2}\right)}$ Substitute ${\left({2}\right)}$ into ${\left({1}\right)}:$ ${x}^{{{2}}}+{\left({x}+{k}\right)}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{\left({x}+{k}\right)}-{43}$ $={0}$ ${x}^{{{2}}}+{x}^{{{2}}}+{2}{k}{x}+{k}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{x}-{4}{k}-{43}$ $={0}$ ${2}{x}^{{{2}}}+{\left({2}{k}-{14}\right)}{x}+{\left({k}^{{{2}}}-{4}{k}-{43}\right)}$ $={0}$ $\ldots{\left(\ast\right)}$ For ${\left({1}\right)}$ to intersect ${\left({2}\right)}$ at two distinct points, ${\left(\ast\right)}$ has two roots $,\Delta$ $>{0}$ ${\left({2}{k}-{14}\right)}^{{{2}}}-{4}{\left({2}\right)}{\left({k}^{{{2}}}-{4}{k}-{43}\right)}$ $>{0}$ ${4}{k}^{{{2}}}-{56}{k}+{196}-{8}{k}^{{{2}}}+{32}{k}+{344}$ $>{0}$ $-{4}{k}^{{{2}}}-{24}{k}+{540}$ $>{0}$ ${4}{k}^{{{2}}}+{24}{k}-{540}$ $<{0}$ ${k}^{{{2}}}+{6}{k}-{135}$ $<{0}$ ${\left({k}+{15}\right)}{\left({k}-{9}\right)}$ $<{0}$ By using algebraic method or graphical method to solve the quadratic inequality, we have $-{15}<{k}<{9}$ . 

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