Find range of a variable given the number of intersection of a straight line and a circle

Question Sample Titled 'Find range of a variable given the number of intersection of a straight line and a circle'

題目

Find the range of values of ${k}$ such that the circle ${x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{y}-{43}={0}$ and the straight line ${x}-{y}+{k}={0}$ intersect at two distinct points.

-{15}<{k}<{9}

-{9}<{k}<{15}

{k}<-{15}

{k}>{9}

{k}<-{9}

{k}>{15}

題解

	${x}^{{{2}}}+{y}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{y}-{43}$	$={0}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
	${y}$	$={x}+{k}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
Substitute ${\left({2}\right)}$ into ${\left({1}\right)}:$
${x}^{{{2}}}+{\left({x}+{k}\right)}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{\left({x}+{k}\right)}-{43}$		$={0}$
${x}^{{{2}}}+{x}^{{{2}}}+{2}{k}{x}+{k}^{{{2}}}-{10}{x}-{4}{x}-{4}{k}-{43}$		$={0}$
${2}{x}^{{{2}}}+{\left({2}{k}-{14}\right)}{x}+{\left({k}^{{{2}}}-{4}{k}-{43}\right)}$		$={0}$	$\ldots{\left(\ast\right)}$
For ${\left({1}\right)}$ to intersect ${\left({2}\right)}$ at two distinct points, ${\left(\ast\right)}$ has two roots $,\Delta$		$>{0}$
${\left({2}{k}-{14}\right)}^{{{2}}}-{4}{\left({2}\right)}{\left({k}^{{{2}}}-{4}{k}-{43}\right)}$		$>{0}$
${4}{k}^{{{2}}}-{56}{k}+{196}-{8}{k}^{{{2}}}+{32}{k}+{344}$		$>{0}$
$-{4}{k}^{{{2}}}-{24}{k}+{540}$		$>{0}$
${4}{k}^{{{2}}}+{24}{k}-{540}$		$<{0}$
${k}^{{{2}}}+{6}{k}-{135}$		$<{0}$
${\left({k}+{15}\right)}{\left({k}-{9}\right)}$		$<{0}$
By using algebraic method or graphical method to solve the quadratic inequality, we have $-{15}<{k}<{9}$ .

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