Find radius of the circle given a triangle whose base is tangential to the circle

Question Sample Titled 'Find radius of the circle given a triangle whose base is tangential to the circle'

題目

In the figure, A{A} , B{B} and C{C} are points lying on the circle. TA{T}{A} is the tangent to the circle at A{A}. The straight line CBT{C}{B}{T} is perpendicular to TA{T}{A}. If BC=7{B}{C}={7} cm\text{cm}, find the radius of the circle correct to the nearest 0.1{0.1} cm\text{cm}.

A{A}C{C}T{T}B{B}14∘{14}^{\circ}
A
4{4} cm\text{cm}
B
7.5{7.5} cm\text{cm}
C
3.4{3.4} cm\text{cm}
D
5.5{5.5} cm\text{cm}
題解

Method 1{1}:Constucting a diameter
Join AB{A}{B} .
∠BAT\angle{B}{A}{T}=14∘={14}^{\circ}∠ in alt. segment
Consider △TAC\triangle{T}{A}{C} ,
∠CAT\angle{C}{A}{T}=180∘−90∘−14∘=76∘={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{14}^{\circ}={76}^{\circ}∠ sum of △
∠BAC\angle{B}{A}{C}=76∘−14∘=62∘={76}^{\circ}-{14}^{\circ}={62}^{\circ}
Let D{D} be a point on circle such that CD{C}{D} is a diameter of length 2r{2}{r} .
∠BDC\angle{B}{D}{C}=62∘={62}^{\circ}∠s in the same segment
∠CBD\angle{C}{B}{D}=90∘={90}^{\circ}∠ in semi-circle
Consider △BCD\triangle{B}{C}{D} ,
2rsin90∘\dfrac{{{2}{r}}}{{{\sin{{90}}}^{\circ}}}=7sin62∘=\dfrac{{7}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}sine formula
r{r}=72sin62∘=\dfrac{{7}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}
=3.9639951774116375={3.9639951774116375}
=4={4} cm  \text{cm }\ (cor. to the nearest 0.1{0.1} cm\text{cm})
∴   The radius of the circle is 4{4} cm\text{cm} .

A{A}C{C}T{T}B{B}14∘{14}^{\circ}O{O}D{D}14∘{14}^{\circ}62∘{62}^{\circ}62∘{62}^{\circ}r{r}r{r}Method 1{1}

Method 2{2}:Bisecting the chord AC{A}{C}
Join AB{A}{B} .
∠BAT\angle{B}{A}{T}=14∘={14}^{\circ}∠ in alt. segment
Consider △TAC\triangle{T}{A}{C} ,
∠CAT\angle{C}{A}{T}=180∘−90∘−14∘=76∘={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{14}^{\circ}={76}^{\circ}∠ sum of △
Consider △ABC\triangle{A}{B}{C} ,
∠BAC\angle{B}{A}{C}=76∘−14∘=62∘={76}^{\circ}-{14}^{\circ}={62}^{\circ}
∠ABC\angle{A}{B}{C}=180∘−14∘−62∘=104∘={180}^{\circ}-{14}^{\circ}-{62}^{\circ}={104}^{\circ}∠ sum of △
ACsin104∘\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{104}}}^{\circ}}}=7sin62∘=\dfrac{{7}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}sine formula
AC{A}{C}=7sin104∘sin62∘=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}} cm\text{cm}
Let O{O} be the center of the circle. Let r{r} be the radius.
Let M{M} be a point on chord AC{A}{C} such that OM⊥AC{O}{M}\bot{A}{C} . Join OM{O}{M} .
AM{A}{M}=AC2=12(7sin104∘sin62∘)=7sin104∘2sin62∘=\dfrac{{{A}{C}}}{{2}}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}line from centre ⊥ chord bisects chord
∠OAC\angle{O}{A}{C}=14∘={14}^{\circ}alt. ∠s
Consider △OAM\triangle{O}{A}{M} ,
cos14∘{{\cos{{14}}}^{\circ}}=7sin104∘2sin62∘r=\dfrac{{\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}}}{{r}}
r{r}=7sin104∘2sin62∘⋅1cos14∘=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}\cdot\dfrac{{1}}{{{\cos{{14}}}^{\circ}}}
=3.9639951774116375={3.9639951774116375}
=4={4} cm  \text{cm }\ (cor. to the nearest 0.1{0.1} cm\text{cm})
∴   The radius of the circle is 4{4} cm\text{cm} .

A{A}C{C}T{T}B{B}14∘{14}^{\circ}O{O}14∘{14}^{\circ}r{r}104∘{104}^{\circ}62∘{62}^{\circ}7{7} cmM{M}14∘{14}^{\circ}7sin104∘2sin62∘\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}cmMethod 2{2}

Method 3{3}:Using cosine formula
Join AB{A}{B} .
∠BAT\angle{B}{A}{T}=14∘={14}^{\circ}∠ in alt. segment
Consider △TAC\triangle{T}{A}{C} ,
∠CAT\angle{C}{A}{T}=180∘−90∘−14∘=76∘={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{14}^{\circ}={76}^{\circ}∠ sum of △
Consider △ABC\triangle{A}{B}{C} ,
∠BAC\angle{B}{A}{C}=76∘−14∘=62∘={76}^{\circ}-{14}^{\circ}={62}^{\circ}
∠ABC\angle{A}{B}{C}=180∘−14∘−62∘=104∘={180}^{\circ}-{14}^{\circ}-{62}^{\circ}={104}^{\circ}∠ sum of △
ACsin104∘\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{104}}}^{\circ}}}=7sin62∘=\dfrac{{7}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}sine formula
AC{A}{C}=7sin104∘sin62∘=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}} cm\text{cm}
Let O{O} be the center of the circle. Let r{r} be the radius.
Join OA{O}{A} and OC{O}{C} .
reflex ∠AOC\angle{A}{O}{C}=2(104∘)=208∘={2}{\left({104}^{\circ}\right)}={208}^{\circ}∠ at centre twice ∠ at ⊙ce
∠AOC\angle{A}{O}{C}=360∘−208∘=152∘={360}^{\circ}-{208}^{\circ}={152}^{\circ}∠s at a pt.
Consider △OAC\triangle{O}{A}{C} ,
r2+r2−2(r)(r)(cos152∘){r}^{{2}}+{r}^{{2}}-{2}{\left({r}\right)}{\left({r}\right)}{\left({\cos{{152}}}^{\circ}\right)}=(7sin104∘sin62∘)2={\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}cosine formula
2r2−2r2cos152∘{2}{r}^{{2}}-{2}{r}^{{2}}{{\cos{{152}}}^{\circ}}=(7sin104∘sin62∘)2={\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}
r2(2−2cos152∘){r}^{{2}}{\left({2}-{2}{\cos{{152}}}^{\circ}\right)}=(7sin104∘sin62∘)2={\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}
r{r}=(7sin104∘sin62∘)22−2cos152∘=\sqrt{{\dfrac{{{\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}-{2}{\cos{{152}}}^{\circ}}}}}
=3.9639951774116375={3.9639951774116375}
=4={4} cm  \text{cm }\ (cor. to the nearest 0.1{0.1} cm\text{cm})
∴   The radius of the circle is 4{4} cm\text{cm} .

A{A}C{C}T{T}B{B}14∘{14}^{\circ}O{O}14∘{14}^{\circ}r{r}r{r}104∘{104}^{\circ}62∘{62}^{\circ}7{7} cm208∘{208}^{\circ}152∘{152}^{\circ}Method 3{3}

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— 《傲慢與偏見》