Find radius of the circle given a triangle whose base is tangential to the circle

Question Sample Titled 'Find radius of the circle given a triangle whose base is tangential to the circle'

題目

In the figure, ${A}$ , ${B}$ and ${C}$ are points lying on the circle. ${T}{A}$ is the tangent to the circle at ${A}$ . The straight line ${C}{B}{T}$ is perpendicular to ${T}{A}$ . If ${B}{C}={7}$ $\text{cm}$ , find the radius of the circle correct to the nearest ${0.1}$ $\text{cm}$ .

{A}

{C}

{T}

{B}

{14}^{\circ}

{4}

\text{cm}

{7.5}

\text{cm}

{3.4}

\text{cm}

{5.5}

\text{cm}

題解

Method ${1}$ :	Constucting a diameter
	Join ${A}{B}$ .
	$\angle{B}{A}{T}$	$={14}^{\circ}$	∠ in alt. segment
	Consider $\triangle{T}{A}{C}$ ,
	$\angle{C}{A}{T}$	$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{14}^{\circ}={76}^{\circ}$	∠ sum of △
	$\angle{B}{A}{C}$	$={76}^{\circ}-{14}^{\circ}={62}^{\circ}$
	Let ${D}$ be a point on circle such that ${C}{D}$ is a diameter of length ${2}{r}$ .
	$\angle{B}{D}{C}$	$={62}^{\circ}$	∠s in the same segment
	$\angle{C}{B}{D}$	$={90}^{\circ}$	∠ in semi-circle
	Consider $\triangle{B}{C}{D}$ ,
	$\dfrac{{{2}{r}}}{{{\sin{{90}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{7}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}$	sine formula
	${r}$	$=\dfrac{{7}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}$
		$={3.9639951774116375}$
		$={4}$ $\text{cm }\$ (cor. to the nearest ${0.1}$ $\text{cm}$ )
	∴ The radius of the circle is ${4}$ $\text{cm}$ .

{A}

{C}

{T}

{B}

{14}^{\circ}

{O}

{D}

{14}^{\circ}

{62}^{\circ}

{62}^{\circ}

{r}

{r}

Method

{1}

Method ${2}$ :	Bisecting the chord ${A}{C}$
	Join ${A}{B}$ .
	$\angle{B}{A}{T}$	$={14}^{\circ}$	∠ in alt. segment
	Consider $\triangle{T}{A}{C}$ ,
	$\angle{C}{A}{T}$	$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{14}^{\circ}={76}^{\circ}$	∠ sum of △
	Consider $\triangle{A}{B}{C}$ ,
	$\angle{B}{A}{C}$	$={76}^{\circ}-{14}^{\circ}={62}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{C}$	$={180}^{\circ}-{14}^{\circ}-{62}^{\circ}={104}^{\circ}$	∠ sum of △
	$\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{104}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{7}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}$	sine formula
	${A}{C}$	$=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}$ $\text{cm}$
	Let ${O}$ be the center of the circle. Let ${r}$ be the radius.
	Let ${M}$ be a point on chord ${A}{C}$ such that ${O}{M}\bot{A}{C}$ . Join ${O}{M}$ .
	${A}{M}$	$=\dfrac{{{A}{C}}}{{2}}=\dfrac{{1}}{{2}}{\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}$	line from centre ⊥ chord bisects chord
	$\angle{O}{A}{C}$	$={14}^{\circ}$	alt. ∠s
	Consider $\triangle{O}{A}{M}$ ,
	${{\cos{{14}}}^{\circ}}$	$=\dfrac{{\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}}}{{r}}$
	${r}$	$=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}\cdot\dfrac{{1}}{{{\cos{{14}}}^{\circ}}}$
		$={3.9639951774116375}$
		$={4}$ $\text{cm }\$ (cor. to the nearest ${0.1}$ $\text{cm}$ )
	∴ The radius of the circle is ${4}$ $\text{cm}$ .

{A}

{C}

{T}

{B}

{14}^{\circ}

{O}

{14}^{\circ}

{r}

{104}^{\circ}

{62}^{\circ}

{7}

{M}

{14}^{\circ}

\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{2}{\sin{{62}}}^{\circ}}}

Method

{2}

Method ${3}$ :	Using cosine formula
	Join ${A}{B}$ .
	$\angle{B}{A}{T}$	$={14}^{\circ}$	∠ in alt. segment
	Consider $\triangle{T}{A}{C}$ ,
	$\angle{C}{A}{T}$	$={180}^{\circ}-{90}^{\circ}-{14}^{\circ}={76}^{\circ}$	∠ sum of △
	Consider $\triangle{A}{B}{C}$ ,
	$\angle{B}{A}{C}$	$={76}^{\circ}-{14}^{\circ}={62}^{\circ}$
	$\angle{A}{B}{C}$	$={180}^{\circ}-{14}^{\circ}-{62}^{\circ}={104}^{\circ}$	∠ sum of △
	$\dfrac{{{A}{C}}}{{{\sin{{104}}}^{\circ}}}$	$=\dfrac{{7}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}$	sine formula
	${A}{C}$	$=\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}$ $\text{cm}$
	Let ${O}$ be the center of the circle. Let ${r}$ be the radius.
	Join ${O}{A}$ and ${O}{C}$ .
	reflex $\angle{A}{O}{C}$	$={2}{\left({104}^{\circ}\right)}={208}^{\circ}$	∠ at centre twice ∠ at ⊙^ce
	$\angle{A}{O}{C}$	$={360}^{\circ}-{208}^{\circ}={152}^{\circ}$	∠s at a pt.
	Consider $\triangle{O}{A}{C}$ ,
	${r}^{{2}}+{r}^{{2}}-{2}{\left({r}\right)}{\left({r}\right)}{\left({\cos{{152}}}^{\circ}\right)}$	$={\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}$	cosine formula
	${2}{r}^{{2}}-{2}{r}^{{2}}{{\cos{{152}}}^{\circ}}$	$={\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}$
	${r}^{{2}}{\left({2}-{2}{\cos{{152}}}^{\circ}\right)}$	$={\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}$
	${r}$	$=\sqrt{{\dfrac{{{\left(\dfrac{{{7}{\sin{{104}}}^{\circ}}}{{{\sin{{62}}}^{\circ}}}\right)}^{{2}}}}{{{2}-{2}{\cos{{152}}}^{\circ}}}}}$
		$={3.9639951774116375}$
		$={4}$ $\text{cm }\$ (cor. to the nearest ${0.1}$ $\text{cm}$ )
	∴ The radius of the circle is ${4}$ $\text{cm}$ .

{A}

{C}

{T}

{B}

{14}^{\circ}

{O}

{14}^{\circ}

{r}

{r}

{104}^{\circ}

{62}^{\circ}

{7}

{208}^{\circ}

{152}^{\circ}

Method

{3}

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