Find orthocentre of a triangle given three vertices

Question Sample Titled 'Find orthocentre of a triangle given three vertices'

題目

Let ${O}$ be the origin. The coordinates of the points ${P}$ and ${Q}$ are ${\left({0},{54}\right)}$ and ${\left({88},{22}\right)}$ respectively. The ${x}$ -coordinate of the orthocentre of $\triangle{O}{P}{Q}$ is

{8}

{22}

{15}

{128}

題解

Recall that the definition of orthocentre of a triangle is the intersection of the three (or any two) altitudes of that triangle.
Let ${H}$ be the orthocenter of $\triangle{O}{P}{Q}$ .
${H}$ lies on the altitude passing through vertex ${Q}$ .
Note that ${O}{P}$ is a vertical line, the ${y}$ -coordinate of ${H}$ is ${22}$ .
Denote the altitude passing through ${P}$ be ${L}_{{1}}$ .
The equation of ${L}_{{1}}$ is
${y}$		$={\left[-{1}\div{\left(\dfrac{{22}}{{88}}\right)}\right]}{x}+{54}$		${L}_{{1}}\bot{O}{Q}$
${y}$		$=-{4}{x}+{54}$
∴ The orthocenter can be found by solving
	${y}$	$={22}$	$\ldots{\left({1}\right)}$
	${L}_{{1}}:{y}$	$=-{4}{x}+{54}$	$\ldots{\left({2}\right)}$
Subsitute ${\left({1}\right)}$ into ${\left({2}\right)}$ :
${22}$		$=-{4}{x}+{54}$
${x}$		$={8}$
∴ The ${x}$ -coordinate of the corresponding orthocentre is ${8}$ .

{x}

{y}

{O}

{22}

{y}={22}

{P}{\left({0},{54}\right)}

{Q}{\left({88},{22}\right)}

{H}

{L}_{{1}}

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