Find orthocentre of a triangle given three vertices

Question Sample Titled 'Find orthocentre of a triangle given three vertices'

題目

Let O{O} be the origin. The coordinates of the points P{P} and Q{Q} are (0,54){\left({0},{54}\right)} and (88,22){\left({88},{22}\right)} respectively. The x{x}-coordinate of the orthocentre of OPQ\triangle{O}{P}{Q} is

A
8{8} .
B
22{22} .
C
15{15} .
D
128{128} .
題解

Recall that the definition of orthocentre of a triangle is the intersection of the three (or any two) altitudes of that triangle.
Let H{H} be the orthocenter of OPQ\triangle{O}{P}{Q} .
H{H} lies on the altitude passing through vertex Q{Q} .
Note that OP{O}{P} is a vertical line, the y{y}-coordinate of H{H} is 22{22} .
Denote the altitude passing through P{P} be L1{L}_{{1}} .
The equation of L1{L}_{{1}} is
y{y}=[1÷(2288)]x+54={\left[-{1}\div{\left(\dfrac{{22}}{{88}}\right)}\right]}{x}+{54}L1OQ{L}_{{1}}\bot{O}{Q}
y{y}=4x+54=-{4}{x}+{54}
∴   The orthocenter can be found by solving
y{y}=22={22}(1)\ldots{\left({1}\right)}
L1:y{L}_{{1}}:{y}=4x+54=-{4}{x}+{54}(2)\ldots{\left({2}\right)}
Subsitute (1){\left({1}\right)} into (2){\left({2}\right)} :
22{22}=4x+54=-{4}{x}+{54}
x{x}=8={8}
∴   The x{x}-coordinate of the corresponding orthocentre is 8{8} .

x{x}y{y}O{O}22{22}y=22{y}={22}P(0,54){P}{\left({0},{54}\right)}Q(88,22){Q}{\left({88},{22}\right)}H{H}L1{L}_{{1}}


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