Find one vertex given the circumcentre and another vertex

Question Sample Titled 'Find one vertex given the circumcentre and another vertex'

題目

The coordinates of two vertices of a triangle are (4,5){\left({4},-{5}\right)} and (0,k){\left({0},{k}\right)}. If the coordinates of the circumcentre of the triangle are (3,2){\left(-{3},-{2}\right)} , then k={k}=

A
9-{9} or 5{5}.
B
2-{2} or 11-{11}.
C
6-{6} or 22{22}.
D
4-{4} or 21{21}.
題解

Notice that for any triangle, the distance between any vertices to the circumcentre must be the same.
∴  (4+3)2+(5+2)2\sqrt{{{\left({4}+{3}\right)}^{{2}}+{\left(-{5}+{2}\right)}^{{2}}}}=(0+3)2+(k+2)2=\sqrt{{{\left({0}+{3}\right)}^{{2}}+{\left({k}+{2}\right)}^{{2}}}}
58{58}=9+(k2+4k+4)={9}+{\left({k}^{{2}}+{4}{k}+{4}\right)}
k2+4k45{k}^{{2}}+{4}{k}-{45}=0={0}
k{k}=9=-{9} or k=5{k}={5}



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