Find negative common difference and greatest value of n of the sum being positive of a arithmetic sequence

Question Sample Titled 'Find negative common difference and greatest value of n of the sum being positive of a arithmetic sequence '

題目

The 1{1}st term and the 11{11}th term of an arithmetic sequence are 605{605} and 585{585} respectively. Find

(a)the common difference of the sequence , (2 marks)
(b)the greatest value of n{n} such that the sum of the first n{n} terms of the sequence is positive.(3 marks)

題解

(a)Let d{d} be the common difference of the sequence.
605+(111)d{605}+{\left({11}-{1}\right)}{d}=585={585}1M
d{d}=2=-{2}
Thus, the common difference of the sequence is 2-{2}1A
(b)n2[2(605)+(n1)(2)]\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({605}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{\left(-{2}\right)}\right]}>0>{0}1M
n2(12102n+2)\dfrac{{n}}{{2}}{\left({1210}-{2}{n}+{2}\right)}>0>{0}
12122n{1212}-{2}{n}>0>{0}n>0{n}>{0}
2n{2}{n}<1212<{1212}
n{n}<606<{606}1M
∴   The required greatest value of n{n} is 605{605} .1A

其他方法

Students can also solve the inequality without taking into consideration of n{n} being positive at first.
Then the inequality would be in quadratic form.
(b)n2[2(605)+(n1)(2)]\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({605}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{\left(-{2}\right)}\right]}>0>{0}1M
2n2+1212n-{2}{n}^{{2}}+{1212}{n}>0>{0}
n(n606)-{n}{\left({n}-{606}\right)}>0>{0}
n(n606){n}{\left({n}-{606}\right)}<0<{0}
0{0}<n<606<{n}<{606}1M
∴   The required greatest value of n{n} is 605{605} .1A



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