Find negative common difference and greatest value of n of the sum being positive of a arithmetic sequence

Question Sample Titled 'Find negative common difference and greatest value of n of the sum being positive of a arithmetic sequence '

題目

The ${1}$ st term and the ${11}$ th term of an arithmetic sequence are ${605}$ and ${585}$ respectively. Find

(a)	the common difference of the sequence ,									(2 marks)
(b)	the greatest value of ${n}$ such that the sum of the first ${n}$ terms of the sequence is positive.									(3 marks)

題解

(a)	Let ${d}$ be the common difference of the sequence.
	${605}+{\left({11}-{1}\right)}{d}$	$={585}$		1M
	${d}$	$=-{2}$
	Thus, the common difference of the sequence is $-{2}$			1A

(b)	$\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({605}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{\left(-{2}\right)}\right]}$	$>{0}$		1M
	$\dfrac{{n}}{{2}}{\left({1210}-{2}{n}+{2}\right)}$	$>{0}$
	${1212}-{2}{n}$	$>{0}$	${n}>{0}$
	${2}{n}$	$<{1212}$
	${n}$	$<{606}$		1M
	∴ The required greatest value of ${n}$ is ${605}$ .			1A

其他方法

	Students can also solve the inequality without taking into consideration of ${n}$ being positive at first.
	Then the inequality would be in quadratic form.
(b)	$\dfrac{{n}}{{2}}{\left[{2}{\left({605}\right)}+{\left({n}-{1}\right)}{\left(-{2}\right)}\right]}$	$>{0}$	1M
	$-{2}{n}^{{2}}+{1212}{n}$	$>{0}$
	$-{n}{\left({n}-{606}\right)}$	$>{0}$
	${n}{\left({n}-{606}\right)}$	$<{0}$
	${0}$	$<{n}<{606}$	1M
	∴ The required greatest value of ${n}$ is ${605}$ .		1A

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