### Find diameter of circle using tangent properties by various method

Question Sample Titled 'Find diameter of circle using tangent properties by various method'

In the figure, ${A}{B}$ and ${A}{C}$ are the tangents to the circle at ${B}$ and ${C}$ respectively. ${B}{D}$ is a diameter of the circle. ${A}{C}$ produced and ${B}{D}$ produced meet at ${E}$ . If ${A}{B}={12}$ $\text{cm}$ and ${A}{E}={20}$ $\text{cm}$ , then ${B}{D}=$

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$
A
${12}$ $\text{cm}$ .
B
${6}$ $\text{cm}$ .
C
${11}$ $\text{cm}$ .
D
${9}$ $\text{cm}$ .

 Method ${1}$ : Using equal areas of triangles Let ${O}$ and ${r}$ $\text{cm}$ be the centre and radius respectively. Join ${O}{C}$ and ${O}{A}$ . ${O}{C}\bot{A}{E}$ and ${E}{B}\bot{A}{B}$ tangent ⊥ radius ${A}{C}$ $={A}{B}={12}$ $\text{cm}$ tangent properties ${E}{B}$ $=\sqrt{{{20}^{{2}}-{12}^{{2}}}}={16}$ $\text{cm}$ Pyth. theorem Area of $\triangle{A}{E}{B}$ $={(}$area of $\triangle{O}{B}{A}{)}+{(}$area of $\triangle{O}{A}{E}{)}$ $\dfrac{{1}}{{2}}{\left({12}\right)}{\left({16}\right)}$ $=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({12}\right)}{\left({r}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({20}\right)}{\left({r}\right)}$ ${r}$ $={6}$ ∴  ${B}{D}={12}$ $\text{cm}$

${A}$${B}$${D}$${E}$${C}$${12}$ cm${20}$ cm${16}$ cm${r}$${r}$${O}$Method ${1}$

 Method ${2}$ : Considering smaller right-angled $\triangle{O}{C}{E}$ Let ${O}$ and ${r}$ $\text{cm}$ be the centre and radius respectively. Join ${O}{C}$ and ${O}{A}$ . ${O}{C}\bot{A}{E}$ and ${E}{B}\bot{A}{B}$ tangent ⊥ radius ${A}{C}$ $={A}{B}={12}$ $\text{cm}$ tangent properties ${E}{B}$ $=\sqrt{{{20}^{{2}}-{12}^{{2}}}}={16}$ $\text{cm}$ Pyth. theorem ${E}{C}$ $={20}-{12}={8}$ $\text{cm}$ ${E}{O}$ $={\left({16}-{r}\right)}$ $\text{cm}$ Consider $\triangle{O}{C}{E}$ , ${8}^{{2}}+{r}^{{2}}$ $={\left({16}-{r}\right)}^{{2}}$ Pyth. theorem ${\left({16}-{r}\right)}^{{2}}-{r}^{{2}}$ $={64}$ ${\left({16}-{r}+{r}\right)}{\left({16}-{r}-{r}\right)}$ $={64}$ ${16}{\left({16}-{2}{r}\right)}$ $={64}$ ${r}$ $={6}$ ∴  ${B}{D}={12}$ $\text{cm}$

${A}$${B}$${D}$${E}$${C}$${12}$ cm${20}$ cm${12}$ cm${8}$ cm${16}$ cm${r}$${r}$${O}$Method ${2}$

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### 常見問題

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