Find diameter of circle using tangent properties by various method

Question Sample Titled 'Find diameter of circle using tangent properties by various method'

題目

In the figure, ${A}{B}$ and ${A}{C}$ are the tangents to the circle at ${B}$ and ${C}$ respectively. ${B}{D}$ is a diameter of the circle. ${A}{C}$ produced and ${B}{D}$ produced meet at ${E}$ . If ${A}{B}={12}$ $\text{cm}$ and ${A}{E}={20}$ $\text{cm}$ , then ${B}{D}=$

{A}

{B}

{C}

{D}

{E}

{12}

\text{cm}

{6}

\text{cm}

{11}

\text{cm}

{9}

\text{cm}

題解

Method ${1}$ :	Using equal areas of triangles
	Let ${O}$ and ${r}$ $\text{cm}$ be the centre and radius respectively.
	Join ${O}{C}$ and ${O}{A}$ .
	${O}{C}\bot{A}{E}$ and ${E}{B}\bot{A}{B}$		tangent ⊥ radius
	${A}{C}$	$={A}{B}={12}$ $\text{cm}$	tangent properties
	${E}{B}$	$=\sqrt{{{20}^{{2}}-{12}^{{2}}}}={16}$ $\text{cm}$	Pyth. theorem
	Area of $\triangle{A}{E}{B}$	$={(}$ area of $\triangle{O}{B}{A}{)}+{(}$ area of $\triangle{O}{A}{E}{)}$
	$\dfrac{{1}}{{2}}{\left({12}\right)}{\left({16}\right)}$	$=\dfrac{{1}}{{2}}{\left({12}\right)}{\left({r}\right)}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({20}\right)}{\left({r}\right)}$
	${r}$	$={6}$
	∴ ${B}{D}={12}$ $\text{cm}$

{A}

{B}

{D}

{E}

{C}

{12}

{20}

{16}

{r}

{r}

{O}

Method

{1}

Method ${2}$ :	Considering smaller right-angled $\triangle{O}{C}{E}$
	Let ${O}$ and ${r}$ $\text{cm}$ be the centre and radius respectively.
	Join ${O}{C}$ and ${O}{A}$ .
	${O}{C}\bot{A}{E}$ and ${E}{B}\bot{A}{B}$		tangent ⊥ radius
	${A}{C}$	$={A}{B}={12}$ $\text{cm}$	tangent properties
	${E}{B}$	$=\sqrt{{{20}^{{2}}-{12}^{{2}}}}={16}$ $\text{cm}$	Pyth. theorem
	${E}{C}$	$={20}-{12}={8}$ $\text{cm}$
	${E}{O}$	$={\left({16}-{r}\right)}$ $\text{cm}$
	Consider $\triangle{O}{C}{E}$ ,
	${8}^{{2}}+{r}^{{2}}$	$={\left({16}-{r}\right)}^{{2}}$	Pyth. theorem
	${\left({16}-{r}\right)}^{{2}}-{r}^{{2}}$	$={64}$
	${\left({16}-{r}+{r}\right)}{\left({16}-{r}-{r}\right)}$	$={64}$
	${16}{\left({16}-{2}{r}\right)}$	$={64}$
	${r}$	$={6}$
	∴ ${B}{D}={12}$ $\text{cm}$

{A}

{B}

{D}

{E}

{C}

{12}

{20}

{12}

{8}

{16}

{r}

{r}

{O}

Method

{2}

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