Find area of semi-circle without a minor segment

Question Sample Titled 'Find area of semi-circle without a minor segment'

題目

In the figure, AB{A}{B} is the diameter of circle ABCD{A}{B}{C}{D} . If AB=16  cm{A}{B}={16}\ \text{ cm} and CD=8  cm{C}{D}={8}\ \text{ cm}, then the area of the shaded area is

A{A}B{B}C{C}D{D}
A
(643π+163)  cm2{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi+{16}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}} .
B
(643π163)  cm2{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi-{16}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}} .
C
(643π16)  cm2{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi-{16}\right)}\ \text{ cm}^{{2}} .
D
(643π+16)  cm2{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi+{16}\right)}\ \text{ cm}^{{2}} .
題解

Denote O{O} be the centre of the circle.
Join OC{O}{C} and OD{O}{D}
OA{O}{A}=OB=162=8  cm={O}{B}=\dfrac{{16}}{{2}}={8}\ \text{ cm}radius
Note that OCD\angle{O}{C}{D} is an equilateral triangle.
∴  COD=60\angle{C}{O}{D}={60}^{\circ}
The shaded area
==Area of the semi-circle - area of minor segment with chord CD{C}{D}
==Area of the semi-circle - area of sector OCD+{O}{C}{D}+ area of OCD\triangle{O}{C}{D}
=12π(8)260360π(8)2+12(8)(8)(sin60)=\dfrac{{1}}{{2}}\pi{\left({8}\right)}^{{2}}-\dfrac{{60}^{\circ}}{{360}^{\circ}}\pi{\left({8}\right)}^{{2}}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({8}\right)}{\left({8}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}
=32π323π+12(8)(8)(32)={32}\pi-\dfrac{{32}}{{3}}\pi+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({8}\right)}{\left({8}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}\right)}sin60=32{{\sin{{60}}}^{\circ}=}\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}
=32π323π+163={32}\pi-\dfrac{{32}}{{3}}\pi+{16}\sqrt{{{3}}}
=(643π+163)  cm2={\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi+{16}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}



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《傲慢與偏見》