Find area of semi-circle without a minor segment

Question Sample Titled 'Find area of semi-circle without a minor segment'

題目

In the figure, ${A}{B}$ is the diameter of circle ${A}{B}{C}{D}$ . If ${A}{B}={16}\ \text{ cm}$ and ${C}{D}={8}\ \text{ cm}$ , then the area of the shaded area is

{A}

{B}

{C}

{D}

{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi+{16}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}

{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi-{16}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}

{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi-{16}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}

{\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi+{16}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}

題解

Denote ${O}$ be the centre of the circle.
Join ${O}{C}$ and ${O}{D}$ 。
${O}{A}$	$={O}{B}=\dfrac{{16}}{{2}}={8}\ \text{ cm}$	radius
Note that $\angle{O}{C}{D}$ is an equilateral triangle.
∴ $\angle{C}{O}{D}={60}^{\circ}$
The shaded area
$=$ Area of the semi-circle $-$ area of minor segment with chord ${C}{D}$
$=$ Area of the semi-circle $-$ area of sector ${O}{C}{D}+$ area of $\triangle{O}{C}{D}$
$=\dfrac{{1}}{{2}}\pi{\left({8}\right)}^{{2}}-\dfrac{{60}^{\circ}}{{360}^{\circ}}\pi{\left({8}\right)}^{{2}}+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({8}\right)}{\left({8}\right)}{\left({\sin{{60}}}^{\circ}\right)}$
$={32}\pi-\dfrac{{32}}{{3}}\pi+\dfrac{{1}}{{2}}{\left({8}\right)}{\left({8}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}\right)}$		${{\sin{{60}}}^{\circ}=}\dfrac{\sqrt{{{3}}}}{{2}}$
$={32}\pi-\dfrac{{32}}{{3}}\pi+{16}\sqrt{{{3}}}$
$={\left(\dfrac{{64}}{{3}}\pi+{16}\sqrt{{{3}}}\right)}\ \text{ cm}^{{2}}$

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