### Find area of parallelogram using ratio

Question Sample Titled 'Find area of parallelogram using ratio'

In the figure, ${A}{B}{C}{D}$ is a parallelogram. ${E}$ and ${F}$ are points lying on ${A}{B}$ and ${C}{D}$ respectively. ${A}{D}$ is produced and ${E}{F}$ is produced to meet at ${G}$. It is given that ${D}{F}:{F}{C}={2}:{7}$ and ${A}{D}:{D}{G}={1}:{1}$. If the area of $\triangle{D}{F}{G}$ is ${7}\ \text{ cm}^{{2}}$ , then the area of paralleogram ${A}{B}{C}{D}$ is

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${F}$${G}$
A
${63}$ $\text{cm}^{{2}}$ .
B
${21}$ $\text{cm}^{{2}}$ .
C
${18}$ $\text{cm}^{{2}}$ .
D
${9}$ $\text{cm}^{{2}}$ .

${A}$${B}$${C}$${D}$${E}$${F}$${G}$$\theta$${x}$${x}$${7}{y}$${2}{y}$

 Let ${A}{D}={x},{D}{F}={2}{y},\angle{F}{D}{G}=\theta.$ ∵ ${D}{F}:{F}{C}$ $={2}:{7},$ ∴ ${F}{C}$ $={7}{y}$ ∵ ${A}{D}:{D}{G}$ $={1}:{1},$ ∴ ${D}{G}$ $={x}$ Consider $\angle{D}{F}{G},$ $\dfrac{{1}}{{2}}{\left({x}\right)}{\left({2}{y}\right)}{\sin{\theta}}$ $={7}$ ${x}{y}{\sin{\theta}}$ $={7}$ $\ldots{\left(\ast\right)}$ The area of ${A}{B}{C}{D}$ $={2}\times{\left[\dfrac{{1}}{{2}}\times{C}{D}\cdot{A}{D}\cdot{\sin{{\left({180}^{\circ}-\theta\right)}}}\right]}$ $={\left({D}{F}+{F}{C}\right)}\cdot{x}\cdot{\sin{\theta}}$ ${\sin{{\left({180}^{\circ}-\theta\right)}}}={\sin{\theta}}$ $={\left({2}{y}+{7}{y}\right)}\cdot{x}\cdot{\sin{\theta}}$ $={9}{x}{y}{\sin{\theta}}$ $={9}{\left({7}\right)}$ Substitute ${\left(\ast\right)}$ $={63}$ $\text{cm}^{{2}}$

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